Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 439

 

\[\boxed{\text{439\ (439).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[Преобразуем\ все\ данные\ \]

\[числа.\]

\[15\sqrt{3} - 4\sqrt{2};\]

\[6 - \sqrt{12} = 6 - \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} =\]

\[= 6 - 2\sqrt{3};\]

\[80 - 5\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 5} - 5\sqrt{3} =\]

\[= 4\sqrt{5} - 5\sqrt{3};\]

\[75 - 4\sqrt{5} = \sqrt{25 \cdot 3} - 4\sqrt{5} =\]

\[= 5\sqrt{3} - 4\sqrt{5};\]

\[\frac{1}{2\sqrt{3} - 6} =\]

\[= \frac{2\sqrt{3} + 6}{\left( 2\sqrt{3} - 6 \right)\left( 2\sqrt{3} + 6 \right)} =\]

\[= \frac{2\sqrt{3} + 6}{4 \cdot 3 - 36} = \frac{2 \cdot \left( \sqrt{3} + 3 \right)}{- 24} =\]

\[= - \frac{\sqrt{3} + 3}{12};\]

\[\frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}} =\]

\[= \frac{\sqrt{675} + \sqrt{32}}{\left( \sqrt{675} - \sqrt{32} \right)\left( \sqrt{675} + \sqrt{32} \right)} =\]

\[= \frac{\sqrt{225 \cdot 3} + \sqrt{16 \cdot 2}}{675 - 32} =\]

\[= \frac{15\sqrt{3} + 4\sqrt{2}}{643}.\]

\[Числа\ \sqrt{80} - 5\sqrt{3}\ и\ \sqrt{75} - 4\sqrt{5} -\]

\[противоположные;\]

\[так\ как\ сумма\ чисел\ 4\sqrt{5} - 5\sqrt{3}\ \]

\[и\ 5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}\ равна\ 0:\]

\[4\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 4\sqrt{5} = 0.\]

\[\left( 15\sqrt{3} - 4\sqrt{2} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}} =\]

\[= \frac{15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}}{\sqrt{225 \cdot 3} - \sqrt{16 \cdot 2}} =\]

\[= \frac{15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}}{15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}} = 1;\]

\[Числа\ 15\sqrt{3\ } - 4\sqrt{2}\ и\ \]

\[\frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}} - взаимообратные,\ \]

\[так\ как\ числа\]

\[15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}\ \ и\ \ \frac{15\sqrt{3} + 4\sqrt{2}}{643}\ \]

\[содержат\ одинаковые\ числа\ \]

\[15\sqrt{3}\ и\ 4\sqrt{2}:\]

\[\left( 15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}\ \right) \cdot \frac{15\sqrt{3} + 4\sqrt{2}}{643} =\]

\[= \frac{\left( 15\sqrt{3} - 4\sqrt{2} \right)\left( 15\sqrt{3} + 4\sqrt{2} \right)}{643} =\]

\[= \frac{225 \cdot 3 - 16 \cdot 2}{643} = \frac{675 - 32}{643} =\]

\[= \frac{643}{643} = 1 - их\ произведение\ \]

\[равно\ 1.\ \]

\[\boxed{\text{439.}\text{\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

Пояснение.

Представим выражение в виде квадрата суммы.

Выделим под корнем полный квадрат. Для этого рассмотрим слагаемое с корнем, которое будет представлять в формуле удвоенное произведение чисел a и b из формул:

\[a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2};\]

\[a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}.\]

Решение.

\[\textbf{а)}\ \sqrt{55 + \sqrt{216}} = \sqrt{55 + 6\sqrt{6}} =\]

\[= \sqrt{55 + 2 \cdot 3\sqrt{2}\sqrt{3}} =\]

\[= \sqrt{54 + 1 + 2 \cdot 1 \cdot 3\sqrt{6}} =\]

\[= \sqrt{54 + 1 + 2\sqrt{54}} =\]

\[= \sqrt{(54 + 1)^{2}} = \sqrt{54} + 1\]

\[\textbf{б)}\ \sqrt{86 - \sqrt{5460}} =\]

\[= \sqrt{86 - 2\sqrt{1365}} =\]

\[= \sqrt{65 + 21 - 2\sqrt{65 \cdot 21}} =\]

\[= \sqrt{(\sqrt{65} - \sqrt{21})²} = \sqrt{65} - \sqrt{21}\]

\[\textbf{в)}\ \sqrt{14 + \sqrt{288}} =\]

\[= \sqrt{17 + 2\sqrt{72}} =\]

\[= \sqrt{8 + 9 + 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{9}} =\]

\[= \sqrt{\left( \sqrt{8} + \sqrt{9} \right)^{2}} = \sqrt{8} + \sqrt{9}\]

\[\textbf{г)}\ \sqrt{32 - \sqrt{1008}} =\]

\[= \sqrt{32 - 2\sqrt{252}} =\]

\[= \sqrt{14 + 18 - 2\sqrt{14 \cdot 18}} =\]

\[= \sqrt{(\sqrt{14} + \sqrt{18})²} = \sqrt{14} + \sqrt{18}\]