Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 438
Задание 438
\[\boxed{\text{438\ (438).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
\[1)\ 2 - \sqrt{3}\ и\ \ 2 + \sqrt{3} \rightarrow\]
\[взаимообратные.\]
\[\left( 2 - \sqrt{3} \right)\left( 2 + \sqrt{3} \right) =\]
\[= 2^{2} - \left( \sqrt{3} \right)^{2} = 4 - 3 = 1\]
\[взаимобратные\ числа,\ \]
\[так\ как\ они\ в\ прозведении\ \]
\[дают\ 1.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[2)\ 2\sqrt{6} - 5\ \ и\ \ \frac{1}{2\sqrt{6} + 5} \rightarrow\]
\[противоположные.\]
\[\left( 2\sqrt{6} - 5 \right)^{\backslash 2\sqrt{6} + 5} + \frac{1}{2\sqrt{6} + 5} =\]
\[= \frac{\left( 2\sqrt{6} - 5 \right)\left( 2\sqrt{6} + 5 \right) + 1}{2\sqrt{6} + 5} =\]
\[= \frac{\left( 2\sqrt{6} \right)^{2} - 25 + 1}{2\sqrt{6} + 5} =\]
\[= \frac{4 \cdot 6 - 24}{2\sqrt{6} + 5} = \frac{24 - 24}{2\sqrt{6} + 5} =\]
\[= \frac{0}{2\sqrt{6} + 5} = 0\]
\[противоположные\ числа,\ \]
\[так\ как\ их\ сумма\ равна\ 0.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать\]
\[\boxed{\text{438.}\text{\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]
Пояснение.
Представим выражение в виде квадрата суммы.
Выделим под корнем полный квадрат. Для этого рассмотрим слагаемое с корнем, которое будет представлять в формуле удвоенное произведение чисел a и b из формул:
\[a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2};\]
\[a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}.\]
Решение.
\[\textbf{а)}\ \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2} =\]
\[= \sqrt{9 + 2 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2} =\]
\[= \sqrt{3^{2} + 6\sqrt{2} + \left( \sqrt{2} \right)^{2}} - \sqrt{2} =\]
\[= \sqrt{\left( 3 + \sqrt{2} \right)^{2}} - \sqrt{2} =\]
\[= \left| 3 + \sqrt{2} \right| - \sqrt{2} =\]
\[= 3 + \sqrt{2} - \sqrt{2} =\]
\[= 3\ \left( так\ как\ 3 + \sqrt{2} > 0 \right).\]
\[\textbf{б)}\ \sqrt{27 - 5\sqrt{8}} + \sqrt{2} =\]
\[= \sqrt{27 - 5 \cdot 2\sqrt{2}} + \sqrt{2} =\]
\[= \sqrt{27 - 10\sqrt{2}} + \sqrt{2} =\]
\[= \sqrt{25 + 2 - 10\sqrt{2}} + \sqrt{2} =\]
\[= \sqrt{5^{2} - 2 \cdot 5\sqrt{2} + \left( \sqrt{2} \right)^{2}} =\]
\[= \sqrt{\left( 5 - \sqrt{2} \right)^{2}} + \sqrt{2} =\]
\[= \left| 5 - \sqrt{2} \right| + \sqrt{2} =\]
\[= 5 - \sqrt{2} + \sqrt{2} =\]
\[= 5\ \left( так\ как\ 5 = \sqrt{25} > \sqrt{2} \right).\]
