Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 431

 

\[\boxed{\text{431\ (431).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Решение.

\[\textbf{а)}\ \frac{x}{\sqrt{5}} = \frac{x \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{x\sqrt{5}}{5}\]

\[\textbf{б)}\ \frac{3}{\sqrt{b}} = \frac{3 \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{3\sqrt{b}}{b}\]

\[\textbf{в)}\ \frac{2}{7\sqrt{y}} = \frac{2 \cdot \sqrt{y}}{7\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{2\sqrt{y}}{7y}\]

\[\textbf{г)}\ \frac{a}{b\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{b\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} \cdot = \frac{a\sqrt{b}}{b^{2}}\]

\[\textbf{д)}\ \frac{4}{\sqrt{a + b}} = \frac{4 \cdot \sqrt{a + b}}{\sqrt{a + b} \cdot \sqrt{a + b}} =\]

\[= \frac{4\sqrt{a + b}}{a + b}\]

\[\textbf{е)}\ \frac{1}{\sqrt{a - b}} = \frac{1 \cdot \sqrt{a - b}}{\sqrt{a - b} \cdot \sqrt{a - b}} =\]

\[= \frac{\sqrt{a - b}}{a - b}\]

\[\textbf{ж)}\ \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \cdot 3} =\]

\[= \frac{5\sqrt{3}}{6}\]

\[\textbf{з)}\ \frac{8}{3\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{3 \cdot 2} =\]

\[= \frac{4\sqrt{2}}{3}\]

\[\textbf{и)}\ \frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{10}}{5 \cdot 2} =\]

\[= \frac{3\sqrt{10}}{10}\]

\[\boxed{\text{431.}\text{\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

Пояснение.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – значит, заменить дробь тождественно равной дробью, не содержащей в знаменателе знак корня.

При любом a, при котором выражение √a имеет смысл, верно равенство:

\[\left( \sqrt{a} \right)^{2} = a.\]

Свойство степеней:

\[\left( \text{ab} \right)^{n} = a^{n}b^{n}.\]

Взаимно обратными называются числа, произведение которых равно 1.

Формула разности квадратов:

\[(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}.\]

Сумма противоположных чисел равна 0.

Решение.

\[1)\ 2 - \sqrt{3}\ и\ \ 2 + \sqrt{3} \rightarrow\]

\[взаимообратные.\]

\[\left( 2 - \sqrt{3} \right)\left( 2 + \sqrt{3} \right) =\]

\[= 2^{2} - \left( \sqrt{3} \right)^{2} = 4 - 3 = 1\]

\[взаимобратные\ числа,\ \]

\[так\ как\ они\ в\ прозведении\ \]

\[дают\ 1.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[2)\ 2\sqrt{6} - 5\ \ и\ \ \frac{1}{2\sqrt{6} + 5} \rightarrow\]

\[противоположные.\]

\[\left( 2\sqrt{6} - 5 \right)^{\backslash 2\sqrt{6} + 5} + \frac{1}{2\sqrt{6} + 5} =\]

\[= \frac{\left( 2\sqrt{6} - 5 \right)\left( 2\sqrt{6} + 5 \right) + 1}{2\sqrt{6} + 5} =\]

\[= \frac{\left( 2\sqrt{6} \right)^{2} - 25 + 1}{2\sqrt{6} + 5} =\]

\[= \frac{4 \cdot 6 - 24}{2\sqrt{6} + 5} = \frac{24 - 24}{2\sqrt{6} + 5} =\]

\[= \frac{0}{2\sqrt{6} + 5} = 0\]

\[противоположные\ числа,\ \]

\[так\ как\ их\ сумма\ равна\ 0.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать\]