Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 426

 

\[\boxed{\text{426\ (426).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Решение.

\[\textbf{а)}\ \left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right) =\]

\[= \left( \sqrt{x} \right)^{2} - 1 = x - 1\]

\[\textbf{б)}\ \left( \sqrt{x} - \sqrt{a} \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{a} \right) =\]

\[= \left( \sqrt{x} \right)^{2} - \left( \sqrt{a} \right)^{2} = x - a\]

\[\textbf{в)}\ \left( \sqrt{m} + \sqrt{2} \right)^{2} =\]

\[= \left( \sqrt{m} \right)^{2} + 2\sqrt{m}\sqrt{2} + \left( \sqrt{2} \right)^{2} =\]

\[= m + 2\sqrt{2m} + 2\]

\[\textbf{г)}\ \left( \sqrt{3} - \sqrt{x} \right)^{2} =\]

\[= \left( \sqrt{3} \right)^{2} - 2\sqrt{3}\sqrt{x} + \left( \sqrt{x} \right)^{2} =\]

\[= 3 - 2\sqrt{3x} + x\]

\[\textbf{д)}\ \left( 5\sqrt{7} - 13 \right)\left( 5\sqrt{7} + 13 \right) =\]

\[= \left( 5\sqrt{7} \right)^{2} - 13^{2} = 25 \cdot 7 - 169 =\]

\[= 175 - 169 = 6\]

\[\textbf{е)}\ \left( 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3} \right)\left( 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3} \right) =\]

\[= \left( 2\sqrt{2} \right)^{2} - 3\left( \sqrt{3} \right)^{2} =\]

\[= 4 \cdot 2 - 9 \cdot 3 = 8 - 27 = - 19\]

\[\textbf{ж)}\ \left( 6 - \sqrt{2} \right)^{2} + 3\sqrt{32} =\]

\[= 36 - 12\sqrt{2} + 2 + 3\sqrt{16 \cdot 2} =\]

\[= 38 - 12\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = 38\]

\[\textbf{з)}\ \left( \sqrt{2} + \sqrt{18} \right)^{2} - 30 =\]

\[= 2 + 2\sqrt{2}\sqrt{18} + 18 - 30 =\]

\[= - 10 + 2\sqrt{36} =\]

\[= - 10 + 12 = 2\]

\[\boxed{\text{426.}\text{\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

Пояснение.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – значит, заменить дробь тождественно равной дробью, не содержащей в знаменателе знак корня.

Для этого нужно домножить дробь на выражение, чтобы получить множители, как в формуле разности квадратов:

\[(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}.\]

Решение.

\[\textbf{а)}\ \frac{4}{\sqrt{3} + 1} = \frac{4 \cdot \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{\left( \sqrt{3} + 1 \right)\left( \sqrt{3} - 1 \right)} =\]

\[= \frac{4 \cdot \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{3 - 1} = \frac{4 \cdot \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{2} =\]

\[= 2(\sqrt{3} - 1)\]

\[\textbf{б)}\ \frac{1}{1 - \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \left( 1 + \sqrt{2} \right)}{\left( 1 - \sqrt{2} \right)\left( 1 + \sqrt{2} \right)} =\]

\[= \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - 2} = - \left( 1 + \sqrt{2} \right) =\]

\[= - 1 - \sqrt{2}\]

\[\textbf{в)}\ \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} =\]

\[= \frac{1 \cdot \left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)}{\left( \sqrt{x} - \sqrt{y} \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)} =\]

\[= \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x - y}\]

\[\textbf{г)}\ \frac{a}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} =\]

\[= \frac{a\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)}{\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)} =\]

\[= \frac{a(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}\]

\[\textbf{д)}\frac{33}{7 - 3\sqrt{3}} =\]

\[= \frac{33 \cdot \left( 7 + 3\sqrt{3} \right)}{\left( 7 + 3\sqrt{3} \right)\left( 7 - 3\sqrt{3} \right)} =\]

\[= \frac{33 \cdot \left( 7 + 3\sqrt{3} \right)}{49 - 9 \cdot 3} =\]

\[= \frac{33 \cdot \left( 7 + 3\sqrt{3} \right)}{49 - 27} =\]

\[= \frac{33 \cdot (7 + 3\sqrt{3})}{22} = \frac{21 + 9\sqrt{3}}{2}\]

\[\textbf{е)}\ \frac{15}{2\sqrt{5} + 5} =\]

\[= \frac{15\left( 2\sqrt{5} - 5 \right)}{\left( 2\sqrt{5} + 5 \right)\left( 2\sqrt{5} - 5 \right)} =\]

\[= \frac{15\left( 2\sqrt{5} - 5 \right)}{4 \cdot 5 - 25} = \frac{15\left( 2\sqrt{5} - 5 \right)}{20 - 25} =\]

\[= \frac{15\left( 2\sqrt{5} - 5 \right)}{- 5} =\]

\[= - 3\left( 2\sqrt{5} - 5 \right) = - 6\sqrt{5} + 15\]