Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 204

 

\[\boxed{\text{204\ (204).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[\frac{5a^{2} + 6}{a^{2} + 1} = \frac{5a^{2} + 5 + 1}{a^{2} + 1} =\]

\[= \frac{5\left( a^{2} + 1 \right) + 1}{a^{2} + 1} =\]

\[= \frac{5\left( a^{2} + 1 \right)}{a^{2} + 1} + \frac{1}{a^{2} + 1} =\]

\[= 5 + \frac{1}{a^{2} + 1} \in Z\ \ \ \]

\[при\ \frac{1}{a^{2} + 1} \in Z.\]

\[То\ есть:\ \ \ \ a^{2} + 1 = \pm 1.\]

\[a^{2} = 0\]

\[a = 0.\]

\[a^{2} \neq - 2\]

\[решения\ нет.\]

\[\frac{5a^{2} + 6}{a^{2} + 1} \in Z\ при\ a = 0.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\text{204.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

Пояснение.

Представим дробь в виде суммы многочлена и дроби, выделив сначала в числителе квадрат разности. Разделим его на двучлен в знаменателе. Запишем дробь в виде суммы целого числа и дроби.

Решение.

\[\frac{a^{2} - 4a + 1}{a - 2} = \frac{a^{2} - 4a + 4 - 3}{a - 2} =\]

\[= \frac{(a - 2)^{2} - 3}{a - 2} =\]

\[= \frac{(a - 2)^{2}}{a - 2} - \frac{3}{a - 2} =\]

\[= a - 2 - \frac{3}{a - 2}.\]

\[a - 2 - \frac{3}{a - 2} \in Z,\ если\]

\[\ \frac{3}{a - 2} \in Z,\]

\[а\ это\ возможно\ при\ \]

\[a - 2 \in \left\{ - 3; - 1;\ 1;\ 3 \right\}\]

\[при\ a = - 1:\]

\[( - 1 - 2) - \frac{3}{- 1 - 2} = - 3 + 1 =\]

\[= - 2.\]

\[при\ a = 1:\]

\[(1 - 2) - \frac{3}{1 - 2} = - 1 + 3 = 2.\]

\[при\ a = 3:\]

\[(3 - 2) - \frac{3}{3 - 2} = 1 - 3 = - 2.\]

\[при\ a = 5:\]

\[(5 - 2) - \frac{3}{5 - 2} = 3 - 1 = 2.\]

\[Ответ:при\ a = - 1;\ \ a = 1;\ \ \]

\[a = 3;\ \ a = 5.\]