Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 1025

 

\[\boxed{\text{1025\ (1025).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Теорема Виета. Для квадратного уравнения вида \(\mathbf{a}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ bx + c = 0}\), где a, b и c – любые числа и a ≠ 0:

\[\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{= -}\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}\mathbf{;}\]

\[\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{\bullet \ }\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{a}}\mathbf{.}\]

При решении используем следующее:

1. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.

2. Чтобы найти числитель, нужно частное (ответ) умножить на знаменатель.

Решение.

\[3x^{2} - 18x + m = 0\]

\[3x² - 18x + m = 0\ \ \ |\ :3\]

\[x^{2} - 6x + \frac{m}{3} = 0,\]

\[по\ т.\ Виета:\]

\[\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 6 \\ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{m}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x_{1} + x_{2} = x_{1} \cdot x_{2}\]

\[6 = \frac{m}{3} \Longrightarrow m = 18\]

\[Ответ:при\ m = 18.\]

\[\boxed{\text{1025.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

\[a > 0,\ \ b > 0\]

\[\textbf{а)}\ (a + b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \geq 4\]

\[(a + b) \cdot \frac{b + a}{\text{ab}} \geq 4\]

\[\frac{(a + b)^{2}}{\text{ab}} \geq 4\]

\[a^{2} + 2ab + b^{2} \geq 4ab\]

\[a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0\]

\[(a - b)^{2} \geq 0 \Longrightarrow верно,\ ч.т.д.\]

\[\textbf{б)}\frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{a^{2}} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\]

\[\frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2}b^{2}} \geq \frac{a + b}{\text{ab}}\]

\[\frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2}b^{2}} - \frac{a + b}{\text{ab}} \geq 0\]

\[\frac{(a + b)\left( a^{2} - ab + b^{2} - ab \right)}{a^{2}b^{2}} \geq 0\]

\[\frac{(a + b)\left( a^{2} - 2ab + b^{2} \right)}{a^{2}b^{2}} \geq 0\]

\[\frac{(a + b)(a - b)^{2}}{a^{2}b^{2}} \geq 0 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - b)^{2} \geq 0 - верно \\ a^{2}b^{2} > 0 - верно\ \ \ \ \ \ \ \\ a + b \geq 0 - верно\ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[a + b \geq 0;\ \ так\ как\ a > 0\ и\ \]

\[b > 0 \Longrightarrow ч.т.д.\]