Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 1008

 

\[\boxed{\text{1008\ (1008).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

аⁿ (а в n-ой степени) – число «n» называют показателем степени, а число «а» – основанием степени. Степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число «a» само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81.

Степень с отрицательным показателем – это дробь, числителем которой является единица, а знаменателем – данное число с положительным показателем:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{- n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

При решении используем следующие правила:

1. При возведении произведения в степень каждый множитель возводят в степень и полученные результаты перемножают:

\(\mathbf{(}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{n}}\mathbf{\bullet}\mathbf{b}^{\mathbf{n}}\).

2. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно поменять местами числитель со знаменателем, а после возвести в степень уже без знака « – »:

\[\left( \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} \right)^{\mathbf{- n}}\mathbf{=}\left( \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{.}\]

3. Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель:

\[\left( \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{b}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

4. При возведении степени в степень (степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81) показатели перемножаются, а основание остается прежним:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{m \bullet n}}\mathbf{.}\]

5. Чтобы умножить число на дробь, нужно числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений:

\[\mathbf{a \bullet}\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{ab}}}{\mathbf{c}}\mathbf{.}\]

6. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют прежним:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{\ :\ }\mathbf{a}^{\mathbf{n}}\mathbf{= \ }\mathbf{a}^{\mathbf{m - n}}\mathbf{.}\]

7. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание оставляют прежним:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{\bullet}\mathbf{a}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{m + n}}\mathbf{.}\]

8. Сократить дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель (число, на которое делится и числитель, и знаменатель без остатка).

Решение.

\[\textbf{а)}\ \left( \frac{2x^{- 1}}{3y^{- 2}} \right)^{- 2} \cdot 12xy^{5} =\]

\[= \frac{2^{- 2}x^{2}}{3^{- 2}y^{4}} \cdot 12xy^{5} =\]

\[= \frac{12 \cdot 3^{2}}{2^{2}}x^{2 + 1}y^{5 - 4} = 27x³y\]

\[\textbf{б)}\ 4a^{7}b^{- 1} \cdot \left( \frac{\text{ab}}{5} \right)^{- 1} =\]

\[= 4a^{7}b^{- 1} \cdot \frac{5}{\text{ab}} = 20a^{7 - 1}b^{- 1 - 1} =\]

\[= 20a^{6}b^{- 2} = \frac{20a^{6}}{b^{2}}\]

\[\textbf{в)}\ \left( 2a^{- 2}b^{3} \right)^{2} \cdot \left( \frac{a}{b} \right)^{- 6} =\]

\[= 4a^{- 4}b^{6} \cdot \frac{b^{6}}{a^{6}} =\]

\[= 4a^{- 4 - 6}b^{6 + 6} = \frac{4b^{12}}{a^{10}}\]

\[\textbf{г)}\ \left( \frac{2x^{2}}{y^{3}} \right)^{- 1} \cdot \left( x^{- 1}y \right)^{3} =\]

\[= \frac{y^{3}}{2x^{2}} \cdot x^{- 3}y^{3} = \frac{1}{2}x^{- 3 - 2}y^{3 + 3} =\]

\[= \frac{1}{2}x^{- 5}y^{6} = \frac{y^{6}}{2x^{5}}\]

\[\boxed{\text{1008.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

\[a > 0,\ \ b > 0\]

\[\left( \frac{a + b}{2} \right)^{3} \leq \frac{a^{3} + b^{3}}{2}\]

\[\left( \frac{a + b}{2} \right)^{3} \geq \left( \sqrt{\text{ab}} \right)^{3}\]

\[\frac{a³ + b³}{2} \geq \sqrt{a^{3}b^{3}}\]

\[\Longrightarrow \left( \sqrt{\text{ab}} \right)^{3} \leq \sqrt{a^{3}b^{3}}\]

\[\frac{a^{3} + b^{3}}{2} \geq \sqrt{a^{3}b^{3}}\]

\[\text{ab}\sqrt{\text{ab}} \leq ab\sqrt{\text{ab}}\]

\[то\ есть:\ \ \ \ \ \left( \frac{a + b}{2} \right)^{3} \leq\]

\[\leq \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \Longrightarrow ч.т.д.\]