Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 1007

 

\[\boxed{\text{1007\ (1007).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

аⁿ (а в n-ой степени) – число «n» называют показателем степени, а число «а» – основанием степени. Степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число «a» само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81.

Степень с отрицательным показателем – это дробь, числителем которой является единица, а знаменателем – данное число с положительным показателем:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{- n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

При решении используем следующие правила:

1. При возведении произведения в степень каждый множитель возводят в степень и полученные результаты перемножают:

\(\mathbf{(}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{n}}\mathbf{\bullet}\mathbf{b}^{\mathbf{n}}\).

2. При возведении степени в степень (степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81) показатели перемножаются, а основание остается прежним:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{m \bullet n}}\mathbf{.}\]

3. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно поменять местами числитель со знаменателем, а после возвести в степень уже без знака « – »:

\[\left( \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} \right)^{\mathbf{- n}}\mathbf{=}\left( \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{.}\]

4. Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель:

\[\left( \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{b}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

5. Чтобы умножить число на дробь, нужно числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений:

\[\mathbf{a \bullet}\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{ab}}}{\mathbf{c}}\mathbf{.}\]

6. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби, также умножить знаменатели. Первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем:

\[\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{d}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{ac}}}{\mathbf{\text{bd}}}\]

7. Сократить дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель (число, на которое делится и числитель, и знаменатель без остатка).

8. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют прежним:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{\ :\ }\mathbf{a}^{\mathbf{n}}\mathbf{= \ }\mathbf{a}^{\mathbf{m - n}}\mathbf{.}\]

9. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание оставляют прежним:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{\bullet}\mathbf{a}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{m + n}}\mathbf{.}\]

10. Любое число в нулевой степени равно единице.

Решение.

\[\textbf{а)}\ \left( 0,25x^{- 4}y^{- 3} \right)² \cdot \left( \frac{x^{- 3}}{4y^{2}} \right)^{- 3} =\]

\[= (0,25)^{2}\left( x^{- 4} \right)^{2}\left( y^{- 3} \right)^{2} \cdot \left( \frac{4y^{2}}{x^{- 3}} \right)^{3} =\]

\[= 0,0625x^{- 8}y^{- 6} \cdot \frac{4^{3}y^{6}}{x^{- 9}} =\]

\[= 0,0625 \cdot 64x^{- 8 - ( - 9)}y^{- 6 + 6} =\]

\[= 4x^{1}y^{0} = 4x\]

\[\textbf{б)}\ \left( \frac{a^{- 3}b^{4}}{9} \right)^{- 2} \cdot \left( \frac{3}{a^{- 2}b^{3}} \right)^{- 3} =\]

\[= \left( \frac{9}{a^{- 3}b^{4}} \right)^{2} \cdot \left( \frac{a^{- 2}b^{3}}{3} \right)^{3} =\]

\[= \frac{81}{a^{- 6}b^{8}} \cdot \frac{a^{- 6}b^{9}}{27} =\]

\[= 3a^{- 6 - ( - 6)}b^{9 - 8} = 3a^{0}b^{1} = 3b\]

\[\textbf{в)}\ \left( \frac{c^{- 4}}{10a^{5}b^{2}} \right)^{- 2} \cdot \left( 5a^{3}bc^{2} \right)^{- 2} =\]

\[= \left( \frac{c^{- 4} \cdot 5a^{3}bc²}{10a^{5}b^{2}} \right)^{- 2} =\]

\[= \left( \frac{1}{2}c^{- 4 + 2}a^{3 - 5}b^{1 - 2} \right)^{- 2} =\]

\[= \left( \frac{1}{2}a^{- 2}b^{- 1}c^{- 2} \right)^{- 2} = \left( \frac{1}{2a^{2}bc^{2}} \right)^{- 2} =\]

\[= \left( 2a^{2}bc^{2} \right)^{2} = 4a^{4}b^{2}c^{4}\]

\[\textbf{г)}\ \left( \frac{x^{2}y^{- 3}}{6z} \right)^{- 3} \cdot \left( \frac{x^{2}y^{- 2}}{9z} \right)^{2} =\]

\[= \left( \frac{6z}{x^{2}y^{- 3}} \right)^{3} \cdot \left( \frac{x^{2}y^{- 2}}{9z} \right)^{2} =\]

\[= \frac{216z^{3}}{x^{6}y^{- 9}} \cdot \frac{x^{4}y^{- 4}}{81z^{2}} =\]

\[= \frac{8}{3}x^{4 - 6}y^{- 4 - ( - 9)}z^{3 - 2} =\]

\[= \frac{8}{3x^{2}}y^{5}z\]

\[\boxed{\text{1007.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

\[a > 0,\ \ b > 0,\ \ c > 0\]

\[\textbf{а)}\ \frac{a + b}{c} + \frac{b + c}{a} + \frac{a + c}{b} \geq 6\]

\[a^{2}b + ab^{2} + cb^{2} + c^{2}b + a^{2}c +\]

\[+ ac^{2} \geq 6abc\]

\[\left( a^{2}b + bc^{2} \right) + \left( ab^{2} + ac^{2} \right) +\]

\[+ \left( b^{2}c + a^{2}c \right) \geq 6abc\]

\[b\left( a^{2} + c^{2} \right) + a\left( b^{2} + c^{2} \right) +\]

\[+ c\left( b^{2} + a^{2} \right) \geq 6abc\]

\[\left. \ \begin{matrix} b\left( a^{2} + c^{2} \right) \geq 2\sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}} = 2abc \\ a\left( b^{2} + c^{2} \right) \geq 2\sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}} = 2abc \\ c\left( b^{2} + a^{2} \right) \geq 2\sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}} = abc \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow\]

\[\left( a^{2}b + bc^{2} \right) + \left( ab^{2} + ac^{2} \right) +\]

\[+ \left( b^{2}c + a^{2}c \right) = 3 \cdot (2abc)\]

\[\frac{a + b}{c} + \frac{b + c}{a} + \frac{a + c}{b} \geq\]

\[\geq 6 \Longrightarrow ч.т.д.\]

\[\textbf{б)}\ (1 + a)(1 + b)(1 + c) > 24,\]

\[\ \ abc = 9\]

\[2\sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} \cdot 2\sqrt{c} = 8\sqrt{\text{abc}}\]

\[8\sqrt{9} = 24 \Longrightarrow abc = 9 \Longrightarrow ч.т.д.\]