Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 1005

 

\[\boxed{\text{1005\ (1005).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

аⁿ (а в n-ой степени) – число «n» называют показателем степени, а число «а» – основанием степени. Степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число «a» само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81.

При решении используем следующие правила:

1. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби, также умножить знаменатели. Первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем:

\[\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{d}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{ac}}}{\mathbf{\text{bd}}}\mathbf{.}\]

2. Сократить дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель (число, на которое делится и числитель, и знаменатель без остатка).

3. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют прежним:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{\ :\ }\mathbf{a}^{\mathbf{n}}\mathbf{= \ }\mathbf{a}^{\mathbf{m - n}}\mathbf{.}\]

4. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание оставляют прежним:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{\bullet}\mathbf{a}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{m + n}}\mathbf{.}\]

Решение.

\[\textbf{а)}\ \frac{12x^{- 5}}{y^{- 6}} \cdot \frac{y}{36x^{- 9}} =\]

\[= \frac{1}{3}x^{- 5 - ( - 9)}y^{1 - ( - 6)} = \frac{1}{3}x^{4}y^{7}\]

\[\textbf{б)}\ \frac{63a^{2}}{2b^{- 5}} \cdot \frac{18b^{2}}{7a} =\]

\[= 81a^{2 - 1}b^{2 - ( - 5)} = 81ab^{7}\]

\[\textbf{в)}\ \frac{5x^{- 1}y^{3}}{3} \cdot \frac{9x^{6}}{y^{- 2}} =\]

\[= 15x^{- 1 + 6}y^{3 - ( - 2)} = 15x^{5}y^{5}\]

\[\textbf{г)}\ \frac{16p^{- 1}q^{2}}{5} \cdot \frac{25p^{6}}{64q^{- 8}} =\]

\[= \frac{5}{4}p^{- 1 + 6}q^{2 - ( - 8)} = \frac{5}{4}p^{5}q^{10}\]

\[\boxed{\text{1005.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

\[x > 0,\ \ y > 0\]

\[\textbf{а)}\ \frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}} \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\]

\[\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2}y^{2}} \geq \frac{y + x}{\text{xy}}\]

\[\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2}y^{2}} - \frac{y + x}{\text{xy}} \geq 0\]

\[\frac{(x + y)\left( x^{2} + y^{2} - xy \right) - xy(x + y)}{x^{2}y^{2}} \geq 0\]

\[\frac{(x + y)\left( x^{2} + y^{2} - xy - xy \right)}{x^{2}y^{2}} \geq 0\]

\[\frac{(x + y)\left( x^{2} - 2xy + y^{2} \right)}{x^{2}y^{2}} \geq 0\]

\[\frac{(x + y)(x - y)^{2}}{x^{2}y^{2}} \geq 0 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - y)^{2} \geq 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ при\ любых\ \text{x\ }и\ y \\ x^{2}y^{2} > 0,\ \ при\ любых\ y\ и\ \text{x\ \ \ \ \ \ \ \ } \\ x + y \geq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[то\ есть\ \ x + y \geq 0 \Longrightarrow x > 0,\]

\[\ \ y > 0,\ \ ч.т.д.\]

\[(знак\ строгий,\ так\ как\ на\ ноль\ делить\ нельзя).\]

\[Ответ:неравенство\ будет\ \]

\[выполняться\ при\ \]

\[x > 0\ \ и\ \ y > 0.\]

\[\textbf{б)}\ \frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x} \geq x + y\]

\[\frac{x^{3} + y^{3}}{\text{xy}} - (x + y) \geq 0\]

\[\frac{(x + y)\left( x^{2} - xy + y^{2} \right) - xy(x + y)}{\text{xy}} \geq 0\]

\[\frac{(x + y)\left( x^{2} - xy + y^{2} - xy \right)}{\text{xy}} \geq 0\]

\[\frac{(x + y)\left( x^{2} - 2xy + y^{2} \right)}{\text{xy}} \geq 0\]

\[\frac{(x + y)(x - y)^{2}}{\text{xy}} \geq 0 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - y)^{2} \geq 0 \Longrightarrow при\ любых\ \text{x\ }и\ y. \\ x + y \geq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ xy > 0\ \ \ \ \ \ \Longrightarrow на\ 0\ делить\ нельзя.\ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[то\ есть\ \left\{ \begin{matrix} x + y \geq 0 \\ xy > 0\ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ y > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ \Longrightarrow ч.т.д.\]

\[Ответ:неравенство\ будет\ \]

\[выполнено\ при\ x > 0\ и\ y > 0.\]