Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 1004

 

\[\boxed{\text{1004\ (1004).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

аⁿ (а в n-ой степени) – число «n» называют показателем степени, а число «а» – основанием степени. Степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число «a» само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81.

Степень с отрицательным показателем – это дробь, числителем которой является единица, а знаменателем – данное число с положительным показателем:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{- n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

При решении используем следующие правила:

1. При возведении произведения в степень каждый множитель возводят в степень и полученные результаты перемножают:

\(\mathbf{(}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{n}}\mathbf{\bullet}\mathbf{b}^{\mathbf{n}}\).

2. Чтобы умножить число на дробь, нужно числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений:

\[\mathbf{a \bullet}\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{ab}}}{\mathbf{c}}\mathbf{.}\]

3. Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель:

\[\left( \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{b}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

4. При возведении степени в степень (степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81) показатели перемножаются, а основание остается прежним:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{m \bullet n}}\mathbf{.}\]

Решение.

\[\textbf{а)}\ 0,0001x^{- 4} = {0,1}^{4} \cdot x^{- 4} =\]

\[= 10^{- 4} \cdot x^{- 4} = (10x)^{- 4}\]

\[\textbf{б)}\ 32y^{- 5} = 2^{5}y^{- 5} = 2^{5} \cdot \frac{1}{y^{5}} =\]

\[= \left( \frac{2}{y} \right)^{5}\]

\[\textbf{в)}\ 0,0081a^{8}b^{- 12} =\]

\[= {0,3}^{4}\left( a^{2} \right)^{4}\left( b^{- 3} \right)^{4} =\]

\[= \left( 0,3a^{2}b^{- 3} \right)^{4} = \left( \frac{0,3a^{2}}{b^{3}} \right)^{4}\]

\[\textbf{г)}\ 10^{n}x^{- 2n}y^{3n} =\]

\[= 10^{n}\left( x^{- 2} \right)^{n}\left( y^{3} \right)^{n} =\]

\[= \left( 10x^{- 2}y^{3} \right)^{n}\]

\[\boxed{\text{1004.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

\[\textbf{а)}\ a² + b² + 4 \geq 2 \cdot (a + b + 1)\]

\[a^{2} + b^{2} + 4 -\]

\[- 2 \cdot (a + b + 1) \geq 0\]

\[a² + b² + 4 - 2a - 2b - 2 \geq 0\]

\[a^{2} - 2a - 2 + b^{2} - 2b + 4 \geq 0\]

\[\left( a^{2} - 2a + 1 \right) - 3 +\]

\[+ \left( b^{2} - 2b + 1 \right) + 3 \geq 0\]

\[(a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} \geq 0\]

\[(a - 1)^{2} \geq 0,\ \ (b - 1)^{2} \geq\]

\[\geq 0 \Longrightarrow верно\ при\ любых\ \text{a\ }и\ b.\]

\[\Longrightarrow a^{2} + b^{2} + 4 \geq 2 \cdot\]

\[\cdot (a + b + 1) \Longrightarrow ч.т.д.\]

\[\textbf{б)}\ 4a² + b² > 4 \cdot (a + b - 2)\]

\[4a^{2} + b^{2} - 4 \cdot (a + b - 2) > 0\]

\[4a^{2} + b^{2} - 4a - 4b + 8 > 0\]

\[\left( 4a^{2} - 4a + 1 \right) +\]

\[+ \left( b^{2} - 4b + 4 \right) + 3 \geq 0\]

\[(2a - 1)^{2} + (b - 2)^{2} + 3 \geq 0\]

\[(2a + 1)^{2} \geq 0,\ \ \]

\[(b - 2)^{2} \geq 0,\ \ 3 \geq 0\]

\[верно\ при\ любых\ a\ и\ b.\]

\[\Longrightarrow 4a^{2} + b^{2} > 4 \cdot\]

\[\cdot (a + b - 2) \Longrightarrow ч.т.д.\]