Решебник по алгебре 8 класс Рурукин контрольные работы КР-5. Квадратные уравнения Вариант 5

Условие:

1. Решите уравнение 6x^2+x-2=0.

2. Решите уравнение (3x+1)^2=(x+2)^2.

3. Решите уравнение x^2-x-a^2+a=0.

4. Даны четыре последовательных целых числа. Сумма произведений двух крайних и двух средних чисел равна 22. Найдите эти числа.

5. Найдите наименьшее значение суммы корней уравнения

x^2+(8a-a^2 )x-a^4=0.

6. Уравнение x^2+3x-2a^2=0 имеет корни x₁ и x₂. Напишите квадратное уравнение, корни которого равны x₁+1 и x₂+1.

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[6x^{2} + x - 2 = 0\]

\[D = 1 + 24 = 25\]

\[x_{1} = \frac{- 1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3};\]

\[x_{2} = \frac{- 1 - 5}{12} = - \frac{6}{12} = - \frac{1}{2}\]

\[Ответ:x = \frac{1}{3};\ \ x = - 0,5.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(3x + 1)^{2} = (x + 2)^{2}\]

\[(3x + 1)^{2} - (x + 2)^{2} = 0\]

\[\left( 3x + 1 - (x + 2) \right) \cdot\]

\[\cdot (3x + 1 + x + 2) = 0\]

\[(2x - 1)(4x + 3) = 0\]

\[2x - 1 = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x + 3 = 0\]

\[2x = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x = - 3\]

\[{x = 0,5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = - 0,75 }{Ответ:x = 0,5;\ \ x = - 0,75.}\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} - x - a^{2} + a = 0\]

\[D = 1 - 4 \cdot \left( - a^{2} + a \right) =\]

\[= 1 + 4a^{2} - 4a = (2a - 1)^{2}\]

\[x_{1} = \frac{1 - 2a + 1}{2} = \frac{2 - 2a}{2} = 1 - a;\]

\[x_{2} = \frac{1 + 2a - 1}{2} = \frac{2a}{2} = a\]

\[Ответ:x = 1 - a;\ \ x = a.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ x;x + 1;x + 2;x + 3 -\]

\[четыре\ последовательных\ \]

\[числа.\]

\[x(x + 3) = x^{2} + 3x -\]

\[произведение\ \ крайних\ чисел;\]

\[(x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2 -\]

\[произведение\ средних\ чисел.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[x^{2} + 3x + x^{2} + 3x + 2 = 22\]

\[2x^{2} + 6x - 20 = 0\ \ \ \ \ |\ :2\]

\[x^{2} + 3x - 10 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 3;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 10\]

\[x_{1} = - 5;\ \ \ \ x_{2} = 2.\]

\[Два\ набора\ чисел:\]

\[1)\ - 5,\ - 4,\ - 3,\ - 2;\]

\[2)\ 2,\ 3,\ 4,\ 5.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + \left( 8a - a^{2} \right)x - a^{4} = 0\]

\[D = \left( 8 - a^{2} \right)^{2} + 4a^{4} \geq 0\ при\ \]

\[любом\ \text{a.}\]

\[x_{1} + x_{2} = - \left( 8a - a^{2} \right) =\]

\[= a^{2} - 8a =\]

\[= \left( - a^{2} - 8a + 16 \right) - 16 =\]

\[= (a - 4)^{2} - 16\]

\[x_{1} + x_{2} \geq - 16\]

\[Наименьшее\ значение\ суммы\ \]

\[корней\ равно\ - 16\]

\[при\ a = 4.\]

\[Ответ:\ - 16.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + 3x - 2a^{2} = 0\]

\[D = 9 + 8a^{2} > 0\ при\ любом\ \text{a.}\]

\[x_{1} + x_{2} = - 3;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 2a^{2}\]

\[y^{2} + py + q = 0 - искомое\ \]

\[уравнение.\]

\[y_{1} + y_{2} = \left( x_{1} + 1 \right) + \left( x_{2} + 1 \right) =\]

\[= \left( x_{1} + x_{2} \right) + 2 = - 3 + 2 = - 1.\]

\[y_{1} \cdot y_{2} = \left( x_{1} + 1 \right)\left( x_{2} + 1 \right) =\]

\[= x_{1}x_{2} + \left( x_{1} + x_{2} \right) + 1 =\]

\[= - 2a^{2} - 3 + 1 = - 2a^{2} - 2\]

\[По\ теореме\ Виета:\]

\[p = - \left( y_{1} + y_{2} \right) = - ( - 1) = 1;\]

\[q = y_{1} \cdot y_{2} = - 2a^{2} - 2.\]

\[Искомое\ уравнение\ имеет\ вид:\]

\[y^{2} + y - 2a^{2} - 2 = 0.\]