Решебник по алгебре 8 класс Рурукин контрольные работы КР-5. Квадратные уравнения Вариант 4

Условие:

1. Решите уравнение 3x^2-7x+4=0.

2. Решите уравнение (3x+1)^2-4=0.

3. Решите уравнение x^2-3ax-4a^2=0.

4. Напишите квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого -2 и 1/3 .

5. Моторная лодка прошла по течению реки 45 км и 22 км против течения, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки 2 км/ч.

6. Найдите сумму обратных величин корней уравнения x^2+px+q=0.

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[3x^{2} - 7x + 4 = 0\]

\[D = 49 - 48 = 1\]

\[x_{1} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3};\]

\[x_{2} = \frac{7 - 1}{6} = 1\]

\[Ответ:x = 1;\ \ x = 1\frac{1}{3}.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(3x + 1)^{2} - 4 = 0\]

\[(3x + 1)^{2} = 4\]

\[3x + 1 = 2\ \ \ \ \ \ \ 3x + 1 = - 2\]

\[3x = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x = - 3\]

\[x = \frac{1}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = - 1\]

\[Ответ:x = - 1;\ \ x = \frac{1}{3}.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} - 3ax - 4a^{2} = 0\]

\[D = 9a^{2} + 16a^{2} = 25a^{2}\]

\[x_{1} = \frac{3a + 5a}{2} = 4a;\]

\[x_{2} = \frac{3a - 5a}{2} = - a\]

\[Ответ:x = - a;\ x = 4a.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x_{1} = - 2;\ \ \ x_{2} = \frac{1}{3}\]

\[ax^{2} + bx + c = 0\]

\[b = - \left( - 2 + \frac{1}{3} \right) =\]

\[= - \left( - 1\frac{2}{3} \right) = \frac{5}{3};\]

\[c = - 2 \cdot \frac{1}{3} = - \frac{2}{3}\]

\[x^{2} + \frac{5}{3}x - \frac{2}{3} = 0\ \ \ \ \ | \cdot 3\]

\[3x^{2} + 5x - 2 = 0\]

\[Ответ:3x^{2} + 5x - 2 = 0.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ x\ \frac{км}{ч} - скорость\ \ \]

\[лодки\ в\ стоячей\ воде.\]

\[\frac{45}{x + 2}\ ч - на\ путь\ по\ течению;\]

\[\frac{22}{x - 2}\ ч - на\ путь\ против\ \]

\[течения.\]

\[На\ весь\ путь\ лодка\ затратила\ 5\ ч.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[\frac{45}{x + 2} + \frac{22}{x - 2} = 5;\ \ \ \ x \neq \pm 2\]

\[45 \cdot (x - 2) + 22 \cdot (x + 2) =\]

\[= 5 \cdot (x^{2} - 4)\]

\[45x - 90 + 22x + 44 = 5x^{2} - 20\]

\[5x^{2} - 67x + 26 = 0\]

\[D = 4489 - 520 = 3969 = 63^{2}\]

\[x_{1} = \frac{67 + 63}{10} = \frac{130}{10} =\]

\[= 13\ \left( \frac{км}{ч} \right) - скорость\ лодки\ \]

\[в\ стоячей\ воде.\]

\[x_{2} = \frac{67 - 63}{10} = \frac{4}{10} = 0,4 - не\ \]

\[подходит.\]

\[Ответ:13\ \frac{км}{ч}.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + px + q = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - p\]

\[x_{1} \cdot x_{2} = q\]

\[\frac{1^{\backslash x_{2}}}{x_{1}} + \frac{1^{\backslash x_{1}}}{x_{2}} = \frac{x_{2} + x_{1}}{x_{1} \cdot x_{2}} = \frac{- p}{q}\]

\[Ответ:\ - \frac{p}{q}.\]