Решебник по алгебре 8 класс Рурукин контрольные работы КР-5. Квадратные уравнения Вариант 6

Условие:

1. Решите уравнение 9x^2+3x-2=0.

2. Решите уравнение (4x+3)^2=(2x-1)^2.

3. Решите уравнение x^2+3x-4a^2+6a=0.

4. Даны четыре последовательных целых числа. Сумма произведений двух крайних и двух средних чисел равна 38. Найдите эти числа.

5. Найдите наибольшее значение суммы корней уравнения

x^2+(a^2-6a)x-3a^2=0.

6. Уравнение x^2+2x-3a^2=0 имеет корни x₁ и x₂. Напишите квадратное уравнение, корни которого равны x₁-1 и x₂-1.

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[9x^{2} + 3x - 2 = 0\]

\[D = 9 + 72 = 81\]

\[x_{1} = \frac{- 3 + 9}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3};\]

\[x_{2} = \frac{- 3 - 9}{18} = - \frac{12}{18} = - \frac{2}{3}\]

\[Ответ:x = \frac{1}{3};\ \ x = - \frac{2}{3}.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(4x + 3)^{2} = (2x - 1)^{2}\]

\[(4x + 3)^{2} - (2 - 1)^{2} = 0\]

\[\left( 4x + 3 - (2x - 1) \right) \cdot\]

\[\cdot (4x + 3 + 2x - 1) = 0\]

\[(2x + 4)(6x + 2) = 0\]

\[2x + 4 = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x + 2 = 0\]

\[2x = - 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x = - 2\]

\[x = - 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = - \frac{1}{3}\]

\[Ответ:x = - 2;\ \ x = - \frac{1}{3}.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + 3x - 4a^{2} + 6a = 0\]

\[D = 9 - 4 \cdot \left( - 4a^{2} + 6a \right) =\]

\[= 9 + 16a^{2} - 24a =\]

\[= (4a - 3)^{2} \geq 0 - при\ любом\ \]

\[значении\ \text{a.}\]

\[x_{1} = \frac{- 3 + 4a - 3}{2} = \frac{4a - 6}{2} =\]

\[= 2a - 3;\]

\[x_{2} = \frac{- 3 - 4a + 3}{2} = - \frac{4a}{2} = - 2a.\]

\[Ответ:x = 2a - 3;\ \ \ x = - 2a.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ x;x + 1;x + 2;x + 3 -\]

\[четыре\ последовательных\ \]

\[числа.\]

\[x(x + 3) = x^{2} + 3x -\]

\[произведение\ \ крайних\ чисел;\]

\[(x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2 -\]

\[произведение\ средних\ чисел.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[x^{2} + 3x + x^{2} + 3x + 2 = 38\]

\[2x^{2} + 6x - 36 = 0\ \ \ \ |\ :2\]

\[x^{2} + 3x - 18 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 3;\ \ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 18\]

\[x_{1} = - 6;\ \ \ x_{2} = 3\]

\[Два\ набора\ чисел:\]

\[1) - 6;\ - 5;\ - 4;\ - 3.\]

\[2)\ 3;4;5;6.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + \left( a^{2} - 6a \right)x - 3a^{2} = 0\]

\[D = \left( a^{2} - 6a \right)^{2} + 12a^{2} \geq 0\ при\ \]

\[любом\ значении\ \text{a.}\]

\[x_{1} + x_{2} = - \left( a^{2} - 6a \right) =\]

\[= - \left( a^{2} - 6a + 9 \right) + 9 =\]

\[= - (a - 3)^{2} + 9\]

\[- (a - 3)^{2} \leq 0\ при\ любом\ \text{a.}\]

\[x_{1} + x_{2} \leq 9\]

\[Наименьшее\ значение\ суммы\ \ \]

\[корней\ равно\ 9\ при\ a = 3.\]

\[Ответ:9.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + 2x - 3a^{2} = 0\]

\[D = 4 + 12a^{2} > 0 - имеет\ два\ \]

\[корня.\]

\[x_{1} + x_{2} = - 2;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 3a^{2}\]

\[Искомое\ уравнение\ имеет\ вид:\]

\[y_{1} + y_{2} = \left( x_{1} - 1 \right) + \left( x_{2} - 1 \right) =\]

\[= \left( x_{1} + x_{2} \right) - 2 = - 2 - 2 = - 4.\]

\[y_{1} \cdot y_{2} = \left( x_{1} - 1 \right)\left( x_{2} - 1 \right) =\]

\[= x_{1}x_{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right) + 1 =\]

\[= - 3a^{2} - ( - 2) + 1 =\]

\[= - 3a^{2} + 3\]

\[По\ теореме\ Виета:\]

\[p = - \left( y_{1} + y_{2} \right) = - ( - 4) = 4;\]

\[q = y_{1} \cdot y_{2} = - 3a^{2} + 3.\]

\[Искомое\ уравнение\ имеет\ \]

\[вид:\]

\[y^{2} + 4y - 3a^{2} + 3 = 0.\]