Решебник по алгебре 8 класс Рурукин контрольные работы КР-5. Квадратные уравнения Вариант 3

Условие:

1. Решите уравнение 2x^2-7x+5=0.

2. Решите уравнение (2x-1)^2-9=0.

3. Решите уравнение x^2+2ax-3a^2=0.

4. Напишите квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого -3 и ½ .

5. Катер прошел по течению реки 30 км и 24 км против течения за 9 ч. Чему равна собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

6. Найдите сумму квадратов корней уравнения x^2+px+q=0.

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[2x^{2} - 7x + 5 = 0\]

\[D = 49 - 40 = 9\]

\[x_{1} = \frac{7 + 9}{4} = 4;\ \ \ \]

\[x_{2} = \frac{7 - 9}{4} = - \frac{2}{4} = - 0,5\]

\[Ответ:x = - 0,5;\ \ x = 4.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(2x - 1)^{2} - 9 = 0\]

\[(2x - 1)^{2} = 9\]

\[2x - 1 = 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x - 1 = - 3\]

\[2x = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x = - 2\]

\[x = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = - 1\]

\[Ответ:x = - 1;\ \ x = 2.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + 2ax - 3a^{2} = 0\]

\[D = 4a^{2} + 4 \cdot 3a^{2} = 16a^{2}\]

\[x_{1} = \frac{- 2a + 4a}{2} = a;\]

\[x_{2} = \frac{- 2a - 4a}{2} = - 3a.\]

\[Ответ:x = - 3a;x = a.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x_{1} = - 3;\ \ \ x_{2} = \frac{1}{2}\]

\[ax^{2} + bx + c = 0\]

\[b = - \left( - 3 + \frac{1}{2} \right) =\]

\[= - ( - 2,5) = 2,5;\]

\[c = - 3 \cdot \frac{1}{2} = - 1,5.\]

\[x^{2} + 2,5x - 1,5 = 0\ \ \ \ | \cdot 2\]

\[2x^{2} + 5x - 3 = 0\]

\[Ответ:2x^{2} + 5x - 3 = 0.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ \text{x\ }\frac{км}{ч} - собственная\ \]

\[скорость\ катера;\]

\[\frac{30}{x + 3}\ ч - шел\ по\ течению.\]

\[\frac{24}{x - 3}\ \ ч - шел\ против\ течения.\]

\[На\ весь\ путь\ катер\ затратил\ 9\ ч.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[\frac{30^{\backslash x - 3}}{x + 3} + \frac{24^{\backslash x + 3}}{x - 3} = 9^{\backslash x^{2} - 9}\ \text{\ \ \ }\]

\[ОДЗ:\ x \neq 3;\ \ x \neq - 3\]

\[\frac{30x - 90 + 24x + 72 - 9x^{2} + 81}{(x + 3)(x - 3)} = 0\]

\[- 9x^{2} + 54x + 63 = 0\ \ \ \ \ |\ :( - 9)\]

\[x^{2} - 6x - 7 = 0\]

\[D = 9 + 7 = 16\]

\[x_{1} = 3 + 4 = 7\ \left( \frac{км}{ч} \right) -\]

\[собственная\ скорость\ катера.\]

\[x_{2} = 3 - 4 = - 1 < 0 - не\ \]

\[подходит.\]

\[Ответ:7\ \frac{км}{ч}\text{.\ \ \ }\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + px + q = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - p\]

\[x_{1} \cdot x_{2} = q\]

\[\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} = ( - p)^{2}\]

\[x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} = p^{2}\]

\[x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = p^{2} - 2x_{1}x_{2} = p^{2} - 2q\]

\[Ответ:p^{2} - 2q.\]