Решебник по алгебре 8 класс Дорофеев контрольные работы КР-4. Квадратные уравнения Вариант 3

1. Определите, имеет ли корни уравнение 9x^2-6x+1=0.

2. Решите неполное квадратное уравнение:

а) 6x^2-30=0

б) 5x+10x^2=0

3. Решите уравнение:

а) 5x^2-2x-3=0

б) x^2-4x=x-7

4. Квадратный трёхчлен x^2+9x-10 разложите на множители, если это возможно.

5. Решите задачу с помощью уравнения: «В прямоугольнике одна сторона на 8 см меньше другой, а его пло­щадь равна 84 см^2. Найдите стороны прямоугольника».

6. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни, равные -4 и 1/2, и преобразуйте его так, чтобы все коэффициенты были целыми числами.

7. Найдите все целые значения р, при которых уравнение x^2+рх+10=0 имеет целые корни.

8. Решите уравнение x^4-x^2-12=0.

*9. Произведение двух последовательных натуральных чисел на 111 меньше суммы квадратов этих чисел. Найдите эти числа.

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[9x^{2} - 6x + 1 = 0\ \ \ \ \ \ \]

\[D = 36 - 36 = 0\]

\[(3x - 1)^{2} = 0\]

\[3x = 1\]

\[x = \frac{1}{3}.\]

\[Ответ:x = \frac{1}{3}.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ 6x^{2} - 30 = 0\]

\[6x^{2} = 30\ \ \ \ \ \ \ |\ :6\]

\[x^{2} = 5\]

\[x = \pm \sqrt{5}.\]

\[Ответ:x = \pm \sqrt{5}.\]

\[\textbf{б)}\ 5x + 10x^{2} = 0\]

\[5x(1 + 2x) = 0\]

\[1)\ 5x = 0\]

\[x = 0.\]

\[2)\ 1 + 2x = 0\]

\[2x = - 1\]

\[x = - 0,5.\]

\[Ответ:x = - 0,5;x = 0.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ 5x^{2} - 2x - 3 = 0\]

\[D = 4 + 60 = 64\]

\[x_{1} = \frac{2 + 8}{10} = \frac{10}{10} = 1;\ \ \ \ \ \ \]

\[x_{2} = \frac{2 - 8}{10} = - \frac{6}{10} = - 0,6.\]

\[Ответ:x = - 0,6;x = 1.\]

\[\textbf{б)}\ x^{2} - 4x = x - 7\]

\[x^{2} - 5x + 7 = 0\]

\[D = 25 - 28 < 0 \rightarrow корней\ нет.\ \]

\[Ответ:нет\ корней.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + 9x - 10 = (x - 1)(x + 10)\]

\[D = 81 + 40 = 121\]

\[x_{1} = \frac{- 9 + 11}{2} = 1;\]

\[x_{2} = \frac{- 9 - 11}{2} = \ - 10.\]

\[Ответ:x^{2} + 9x - 10 = (x - 1)(x + 10).\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a = b + 8\ см;\ \ \ \ \ S = a \cdot b = 84\ см^{2}.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[b(b + 8) = 84\]

\[b^{2} + 8b - 84 = 0\]

\[D_{1} = 16 + 84 = 100\]

\[b_{1} = - 4 + 10 = 6\ (см) - одна\ сторона\]

\[прямоугольника.\]

\[b_{2} = - 4 - 10 = - 14\ (не\ подходит).\]

\[a = 6 + 8 = 14\ (см) - другая\ сторона\]

\[прямоугольника.\]

\[Ответ:6\ см\ и\ 14\ см.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x_{1} = - 4;\text{\ \ \ }x_{2} = \frac{1}{2}:\]

\[\left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{2} \right) = 0\]

\[(x + 4)\left( x - \frac{1}{2} \right) = 0\]

\[x^{2} - \frac{1}{2}x + 4x - \frac{4}{2} = 0\ \ \ \ \ \ \ | \cdot 2\]

\[2x^{2} - x + 8x - 4 = 0\]

\[2x^{2} + 7x - 4 = 0.\]

\[Ответ:2x^{2} + 7x - 4 = 0.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + px + 10 = 0\]

\[\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - p \\ x_{1} \cdot x_{2} = q\ \ \ \ \ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \right.\ \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - p \\ x_{1} \cdot x_{2} = 10\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[1 \cdot 10 = 2 \cdot 5 = 5 \cdot 2 = 10 \cdot 1 = 10.\]

\[p_{1} = 1 + 10 = 11;\]

\[p_{2} = 2 + 5 = 7.\]

\[Ответ:\ \ \ \ p = \left\{ - 11;\ - 7 \right\}\]

\[\boxed{\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{4} - x^{2} - 12 = 0\]

\[Сделаем\ замену:\ \ \ \ t = x^{2}\]

\[t^{2} - t - 12 = 0\]

\[D = 1 + 48 = 49\]

\[t_{1} = \frac{1 + 7}{2} = 4;\ t_{2} = \frac{1 - 7}{2} = - 3.\]

\[Подставим:\]

\[1)\ x^{2} = 4\]

\[x = \pm 2.\]

\[2)\ x^{2} = - 3\]

\[нет\ корней.\]

\[Ответ:x = \pm 2.\]

\[\boxed{\mathbf{9}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ a;\ \ a + 1 - последовательные\]

\[натуральные\ числа.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[a(a + 1) + 111 = a^{2} + (a + 1)^{2}\]

\[a^{2} + a + 111 = a^{2} + a^{2} + 2a + 1\]

\[a^{2} + a - 110 = 0\]

\[D = 1 + 440 = 441 = 21^{2}\]

\[a_{1} = \frac{- 1 + 21}{2} = 10;\ \ \]

\[a_{2} = \frac{- 1 - 21}{2} = - 11\ (не\ натуральное)\text{.\ \ \ \ }\]

\[a = 10 - первое\ число.\text{\ \ \ \ }\]

\[a + 1 = 10 + 1 = 11 - второе\ число.\]

\[Ответ:10\ и\ 11.\]