Решебник по алгебре 8 класс Дорофеев контрольные работы КР-4. Квадратные уравнения Вариант 2

1. Определите, имеет ли корни уравнение 6x^2-5x+2=0.

2. Решите неполное квадратное уравнение:

а) 21-3x^2=0

б) 9x^2-3x=0

3. Решите уравнение:

а) 3x^2-4x-4=0

б) x^2+2=4x-3

4. Квадратный трёхчлен x^2-8x+12 разложите на множители, если это возможно.

5. Решите задачу с помощью уравнения: «Площадь прямоугольника 91 м^2. Найдите его стороны, если одна из них на 6 м больше другой».

6. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни, равные 3 и 2/3, и преобразуйте его так, чтобы все коэффициенты были целыми числами.

7. Найдите все целые значения р, при которых уравнение x^2-рх-6=0 имеет целые корни.

8. Решите уравнение x^4+7x^2-8=0.

*9. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 33 больше удвоенного меньшего из них. Найдите эти числа.

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[6x^{2} - 5x + 2 = 0\]

\[D = 25 - 48 < 0 \Longrightarrow нет\ корней.\]

\[Ответ:уравнение\ не\ имеет\ корней.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ 21 - 3x^{2} = 0\]

\[3 \cdot \left( 7 - x^{2} \right) = 0\]

\[7 - x^{2} = 0\]

\[x^{2} = 7\]

\[x = \pm \sqrt{7}.\]

\[Ответ:x = \pm \sqrt{7}.\]

\[\textbf{б)}\ 9x^{2} - 3x = 0\]

\[3x(3x - 1) = 0\]

\[1)\ 3x = 0\]

\[x = 0.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \]

\[2)\ 3x - 1 = 0\]

\[3x = 1\]

\[\ x = \frac{1}{3}.\]

\[Ответ:x = 0;x = \frac{1}{3}.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ 3x^{2} - 4x - 4 = 0\]

\[D = 16 + 48 = 64\]

\[x_{1} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2;\ \ \ \ \ \ \]

\[x_{2} = \frac{4 - 8}{6} = - \frac{4}{6} = - \frac{2}{3}.\]

\[Ответ:x = - \frac{2}{3};\ \ x = 2.\]

\[\textbf{б)}\ x^{2} + 2 = 4x - 3\]

\[x^{2} - 4x + 2 + 3 = 0\]

\[x^{2} - 4x + 5 = 0\]

\[D = 16 - 20 < 0 \rightarrow нет\ корней.\]

\[Ответ:нет\ корней.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} - 8x + 12 = (x - 6)(x - 2)\]

\[D_{1} = 16 - 12 = 4\]

\[x_{1} = 4 + 2 = 6;\text{\ \ }x_{2} = 4 - 2 = 2.\]

\[Ответ:x^{2}x + 12 = (x - 6)(x - 2).\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a = b + 6\ м;\ \ \ \ S = a \cdot b = 91\ м^{2}.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[(b + 6) \cdot b = 91\]

\[b^{2} + 6b - 91 = 0\]

\[D_{1} = 9 + 91 = 100\]

\[b_{1} = - 3 + 10 = 7\ (м) - одна\ сторона\]

\[прямоугольника.\ \ \]

\[b_{2} = - 3 - 10 = - 13\ (не\ подходит).\]

\[a = 7 + 6 = 13\ (м) - другая\ сторона\]

\[прямоугольника.\]

\[Ответ:7\ м\ и\ 13\ м.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x_{1} = 3;\ \ \ \ x_{2} = \frac{2}{3}:\]

\[\left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{2} \right) = 0\]

\[(x - 3)\left( x - \frac{2}{3} \right) = 0\]

\[x^{2} - \frac{2}{3}x - 3x + 2 = 0\ \ \ \ \ | \cdot 3\]

\[3x^{2} - 2x - 9x + 6 = 0\]

\[3x^{2} - 11x + 6 = 0.\]

\[Ответ:уравнение\ 3x^{2} - 11x + 6 = 0.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} - px - 6 = 0\]

\[\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - p \\ x_{1} \cdot x_{2} = q\ \ \ \ \ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ } \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - ( - p) = p\ \ \ \ \\ x_{1} \cdot x_{2} = - 6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[1 \cdot ( - 6) = ( - 1) \cdot 6 = 2 \cdot ( - 3) =\]

\[= ( - 2) \cdot 3 = - 6.\]

\[p_{1} = 1 + ( - 6) = 1 - 6 = - 5;\]

\[p_{2} = - 1 + 6 = 5;\]

\[p_{3} = 2 + ( - 3) = 2 - 3 = - 1;\]

\[p_{4} = - 2 + 3 = 1.\]

\[Ответ:\ \ \ \ p = \left\{ - 5;\ - 1;1;5 \right\}.\]

\[\boxed{\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{4} + 7x^{2} - 8 = 0\]

\[Сделаем\ замену:\ \ \ t = x^{2}\]

\[t^{2} + 7t - 8 = 0\]

\[D = 49 + 32 = 81\]

\[t_{1} = \frac{- 7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1;\ \ \ \ \ \ \ \]

\[t_{2} = \frac{- 7 - 9}{2} = - \frac{16}{2} = - 8.\]

\[Подставим:\]

\[1)\ x^{2} = 1\]

\[x = \pm 1.\]

\[2)\ x^{2} = - 8\]

\[нет\ корней.\]

\[Ответ:x = \pm 1.\]

\[\boxed{\mathbf{9}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ a;\ \ \ a + 1 - два\ последовательных\ \]

\[числа.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[a^{2} + (a + 1)^{2} = 2a + 33\]

\[a^{2} + a^{2} + 2a + 1 = 2a + 33\]

\[2a^{2} = 32\ \ \ \ \ \ \ \ \ |\ :2\]

\[a^{2} = 16\]

\[a = \pm 4\ .\ \ \]

\[(a = - 4 \rightarrow не\ натуральное\ число).\]

\[a = 4 - первое\ число.\]

\[a + 1 = 4 + 1 = 5 - второе\ число.\]

\[Ответ:4\ и\ 5.\]