Решебник по алгебре 8 класс Дорофеев контрольные работы КР-4. Квадратные уравнения Вариант 4

1. Определите, имеет ли корни уравнение 2x^2+4x+3=0.

2. Решите неполное квадратное уравнение:

а) 15-5x^2=0

б) 10x^2-2x=0

3. Решите уравнение:

а) 2x^2-7x+6=0

б) x^2+1=2x-2

4. Квадратный трёхчлен x^2-9x+8 разложите на множители, если это возможно.

5. Решите задачу с помощью уравнения: «Площадь прямоугольника 72 м^2. Найдите его стороны, если одна из них на 6 м больше другой».

6. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни, равные 6 и –1/2, и преобразуйте его так, чтобы все коэффициенты были целыми числами.

7. Найдите все целые значения р, при которых уравнение x^2-рх-8=0 имеет целые корни.

8. Решите уравнение x^4+8x^2-9=0.

*9. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 49 больше удвоенного большего из данных чисел. Найдите эти числа.

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[2x^{2} + 4x + 3 = 0\]

\[D = 16 - 24 < 0 \rightarrow корней\ нет.\]

\[Ответ:уравнение\ не\ имеет\ корней.\ \]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ 15 - 5x^{2} = 0\]

\[5 \cdot \left( 3 - x^{2} \right) = 0\]

\[3 - x^{2} = 0\]

\[x^{2} = 3\]

\[x = \pm \sqrt{3}.\]

\[Ответ:x = \pm \sqrt{3}.\]

\[\textbf{б)}10x^{2} - 2x = 0\]

\[2x(5x - 1) = 0\]

\[1)\ 2x = 0\]

\[x = 0.\]

\[2)\ 5x - 1 = 0\]

\[5x = 1\]

\[x = \frac{1}{5}\]

\[x = 0,2.\]

\[Ответ:x = 0;x = 0,2.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ 2x^{2} - 7x + 6 = 0\]

\[D = 49 - 48 = 1\]

\[x_{1} = \frac{7 + 1}{4} = 2;\text{\ \ }\]

\[x_{2} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5.\]

\[Ответ:x = 1,5;x = 2.\]

\[\textbf{б)}\ x^{2} + 1 = 2x - 2\]

\[x^{2} - 2x + 3 = 0\]

\[D = 4 - 2 < 0 \rightarrow корней\ нет.\]

\[Ответ:нет\ корней.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} - 9x + 8 = (x - 8)(x - 1)\]

\[D = 81 - 32 = 49\]

\[x_{1} = \frac{9 + 7}{2} = 8;\text{\ \ \ }x_{2} = \frac{9 - 7}{2} = 1.\]

\[Ответ:x^{2} - 9x + 8 = (x - 8)(x - 1).\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a = b + 6\ м;\ \ \ \ \ S = a \cdot b = 72\ м^{2}.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[b(b + 6) = 72\]

\[b^{2} + 6b - 72 = 0\]

\[D = 36 + 288 = 324 = 18^{2}\]

\[b_{1} = \frac{- 6 + 18}{2} = 6;\text{\ \ }\]

\[b_{2} = \frac{- 6 - 18}{2} = - 12\ (не\ подходит).\]

\[b = 6\ (м) - одна\ сторона\ прямоугольника.\text{\ \ \ }\]

\[a = 6 + 6 = 12\ (м) - другая\ сторона\ \]

\[прямоугольника.\]

\[Ответ:6\ м\ и\ 12\ м.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x_{1} = 6;\ \ \ \ x_{2} = - \frac{1}{2}:\]

\[\left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{2} \right) = 0\]

\[(x - 6)\left( x - \left( - \frac{1}{2} \right) \right) = 0\]

\[(x - 6)\left( x + \frac{1}{2} \right) = 0\]

\[x^{2} + \frac{1}{2}x - 6x - \frac{6}{2} = 0\]

\[x^{2} + \frac{1}{2}x - 6x - 3 = 0\ \ \ \ \ \ | \cdot 2\]

\[2x^{2} + x - 12x - 6 = 0\]

\[2x^{2} - 11x - 6 = 0.\]

\[Ответ:2x^{2} - 11x - 6 = 0.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} - px - 8 = 0\]

\[\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - p \\ x_{1} \cdot x_{2} = q\ \ \ \ \ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ } \right.\ \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - ( - p) = p \\ x_{1} \cdot x_{2} = - 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[- 1 \cdot 8 = 1 \cdot ( - 8) = ( - 2) \cdot 4 =\]

\[= 2 \cdot ( - 4) = - 8.\]

\[p_{1} = ( - 1) + 8 = 7;\text{\ \ \ }\]

\[p_{2} = 1 + ( - 8) = - 7;\]

\[p_{3} = - 2 + 4 = 2;\]

\[p_{3} = 2 + ( - 4) = - 2.\]

\[Ответ:\ \ \ \ p = \left\{ - 7;\ - 2;2;7 \right\}.\]

\[\boxed{\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{4} + 8x^{2} - 9 = 0\]

\[Сделаем\ замену:\ \ \ t = x^{2}\]

\[t^{2} + 8t - 9 = 0\]

\[D = 64 + 36 = 100\]

\[t_{1} = \frac{- 8 + 10}{2} = 1;\ t_{2} = \frac{- 8 - 10}{2} = - 9.\]

\[Подставим:\]

\[1)\ x^{2} = 1\]

\[x = \pm 1.\]

\[2)\ x^{2} = - 9\]

\[нет\ корней.\]

\[Ответ:x = \pm 1.\]

\[\boxed{\mathbf{9}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ a;\ \ a + 1 - два\ последовательных\ \]

\[натуральных\ числа.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[a^{2} + (a + 1)^{2} = 2 \cdot (a + 1) + 49\]

\[a^{2} + a^{2} + 2a + 1 = 2a + 2 + 49\]

\[2a^{2} = 50\]

\[a^{2} = 25\]

\[a = \pm 5.\ \ \ \ \ \ \]

\[a = - 5 \rightarrow не\ натуральное\ число.\]

\[a = 5 - первое\ число.\text{\ \ \ }\]

\[a + 1 = 5 + 1 = 6 - второе\ число.\]

\[Ответ:\ \ 5\ и\ 6.\]

## КР-5. Системы уравнений