Решебник по алгебре 8 класс Дорофеев контрольные работы КР-1. Алгебраические дроби Вариант 3

1. Найдите значение выражения (a+b)/3ab при а=-2,5, b=1.

2. Определите, какие числа не входят в область допустимых значений дроби:

а) y^2/(y-2)

б) (c+5)/c^2

3. Сократите дробь (a^2-4)/(a^2+2a).

4. Найдите сумму или разность:

а) 9/(b^2+3b)-3/b

б) 8b+(5-9b^2)/b

5. Выполните действия:

а) (a+c)/ac*5ac^2/(c^2-a^2)

б) 3xy:x^2/3y^2.

6. Упростите выражение (a/c+c/a+2)*1/(a+c).

7. Из формулы ёмкости системы последовательно соединённых конденсаторов 1/C = 1/C₁ + 1/C₂ выразите С.

8. Упростите выражение 2/3ab^2*b/a:b^2/9a^2.

9. Сократите дробь (a+b-5b^2+5a^2)/(5a+5b-1).

10. Упростите выражение ((a+1)/a+a)^2-((a+1)/a-a)^2.

*11. Докажите, что верно равенство 1/((x-y)(x-z))+1/((y-x)(y-z))+1/((z-x)(z-y))=0.

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a = - 2,5;\ \ \ \ \ b = 1:\]

\[\frac{a + b}{3ab} = \frac{- 2,5 + 1}{3 \cdot ( - 2,5) \cdot 1} = \frac{- 1,5}{- 7,5} = \frac{15}{75} =\]

\[= \frac{3}{15} = \frac{1}{5}.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ \frac{y^{2}}{y - 2};\ \ \ y - 2 \neq 0;\text{\ \ }\]

\[y \neq 0 - не\ входит\ в\ ОДЗ.\]

\[\textbf{б)}\ \frac{c + 5}{c^{2}};\ \ с^{2} \neq 0;\text{\ \ }\]

\[c \neq 0 - не\ входит\ в\ ОДЗ.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 2a} = \frac{(a - 2)(a + 2)}{a(a + 2)} = \frac{a - 2}{a}.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ \frac{9}{b^{2} + 3b} - \frac{3}{b} = \frac{9}{b(b + 3)} - \frac{3^{\backslash b + 3}}{b} =\]

\[= \frac{9 - 3 \cdot (b + 3)}{b(b + 3)} = \frac{9 - 3b - 9}{b(b + 3)} =\]

\[= \frac{- 3b}{b(b + 3)} = - \frac{3}{b + 3}\]

\[\textbf{б)}\ 8b^{\backslash b} + \frac{5 - 9b^{2}}{b} = \frac{8b^{2} + 5 - 9b^{2}}{b} =\]

\[= \frac{5 - b^{2}}{b}\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ \frac{a + c}{\text{ac}} \cdot \frac{5ac^{2}}{c^{2} - a^{2}} = \frac{(a + c) \cdot 5ac^{2}}{\text{ac}(c - a)(c + a)} =\]

\[= \frac{5c}{c - a}\]

\[\textbf{б)}\ 3xy\ :\frac{x^{2}}{3y^{2}} = 3xy \cdot \frac{3y^{2}}{x^{2}} = \frac{9y^{3}}{x}\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\left( \frac{a^{\backslash a}}{c} + \frac{c^{\backslash c}}{a} + 2^{\backslash ac} \right) \cdot \frac{1}{a + c} =\]

\[= \frac{a^{2} + c^{2} + 2ac}{\text{ac}} \cdot \frac{1}{a + c} = \frac{(a + c)^{2}}{ac \cdot (a + c)} =\]

\[= \frac{a + c}{\text{ac}}.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{1}{c} = \frac{1}{c_{1}} + \frac{1}{c_{2}}\]

\[\frac{1}{c} = \frac{c_{2} + c_{1}}{c_{1}c_{2}}\]

\[c = \frac{1}{\frac{c_{2} + c_{1}}{c_{1}c_{2}}}\]

\[c = \frac{c_{1}c_{2}}{c_{2} + c_{1}}.\]

\[\boxed{\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{2}{3ab^{2}} \cdot \frac{b}{a}\ :\frac{b^{2}}{9a^{2}} = \frac{2 \cdot b \cdot 9a^{2}}{3ab^{2} \cdot a \cdot b^{2}} = \frac{6}{b^{3}}\]

\[\boxed{\mathbf{9}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{a + b - 5b^{2} + 5a^{2}}{5a + 5b - 1} = \frac{(a + b) - 5 \cdot \left( b^{2} - a^{2} \right)}{5a + 5b - 1} =\]

\[= \frac{(a + b)\left( 1 - 5 \cdot (b - a) \right)}{5a + 5b - 1} =\]

\[= \frac{(a + b)(1 - 5b + 5a)}{5a + 5b - 1} =\]

\[= \frac{(a + b)(5a - 5b + 1)}{5a + 5b - 1} =\]

\[= \frac{- (a + b)( - 5a + 5b - 1)}{5a + 5b - 1}\]

\[(В\ задании\ опечатка,\ пример\ сократить\ не\ получится).\]

\[\boxed{\mathbf{10}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\left( \frac{a + 1}{a} + a \right)^{2} - \left( \frac{a + 1}{a} - a \right)^{2} =\]

\[= \left( \frac{a + 1}{a} + a - \frac{a + 1}{a} + a \right)\left( \frac{a + 1}{a} + a + \frac{a + 1}{a} - a \right) =\]

\[= 2a \cdot \frac{a + 1 + a + 1}{a} = 2 \cdot (2a + 2) =\]

\[= 4a + 4.\]

\[\boxed{\mathbf{11}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{1}{(a - y)(x - z)} + \frac{1}{(y - x)(y - z)} + \frac{1}{(z - x)(z - y)} = 0\]

\[\frac{1^{\backslash z - y}}{(x - y)(x - z)} + \frac{1^{\backslash x - z}}{(x - y)(z - y)} - \frac{1^{\backslash x - y}}{(x - z)(z - y)} = 0\]

\[\frac{z - y + x - z - x + y}{(x - y)(x - z)(z - y)} = 0\ \ \ \]

\[0 = 0\]

\[ч.т.д.\]