Решебник по алгебре 8 класс Дорофеев контрольные работы КР-5. Системы уравнений Вариант 3

1. Какие из следующих пар чисел являются решениями уравнения x-2y=4:

(0; 2), (4; 0), (-10; –3), (2; –1)?

2. Вычислите координаты точек пересечения прямой 3x+y=10 с осью х и с осью у.

3. а) Постройте прямую, заданную уравнением y=1/2*x-3.

б) Какая из прямых: y=-1/2*x; y=1/2*x или y=2x – параллельна прямой? Постройте эту прямую в той же системе координат.

4. На рисунке изображены две прямые, пересекающиеся в точке C. Найдите координаты этой точки.

5. Составьте систему уравнений по условию задачи: «В копилке лежат двухрублевые и пятирублевые монеты на общую сумму 82 р. Сколько в копилке двухрублевых и сколько пятирублевых монет, если их всего 26 штук?»

6. Запишите уравнение прямой, которая параллельна прямой у=2,5x и проходит через точку (6; 9).

7. Прямая проходит через точки (0; 4) и (–2; –9). Составьте уравнение этой прямой.

8. Имеют ли окружность x^2+y^2=8 и прямая x-y=4 общие точки? Если имеют, то укажите их координаты. Дайте ответ, не выполняя построение.

*9. Найдите все точки прямой x+3y=-15, координаты которых являются целыми отрицательными числами. Дайте ответ, не выполняя построение.

\[\boxed{\mathbf{Вариант}\mathbf{\ 3}\mathbf{.}\mathbf{\ }Еуроки\ - \ ДЗ\ без\ мороки}\]

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x - 2y = 4\]

\[(0;2):\]

\[0 - 2 \cdot 2 = - 4 \neq 4.\]

\[(4;0):\]

\[4 - 2 \cdot 0 = 4.\]

\[( - 10; - 3):\]

\[- 10 - 2 \cdot ( - 3) = - 4 \neq 4.\]

\[(2;\ - 1):\]

\[2 - 2 \cdot ( - 1) = 4.\]

\[(4;0);\ (2; - 1) \Longrightarrow являются\ \]

\[решением\ уравнения.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[3x + y = 10\]

\[Пересекает\ \text{OX\ }в\ y = 0:\]

\[3x + 0 = 10\]

\[x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}.\]

\[3x + y = 10\]

\[Пересекает\ \text{OY\ }в\ x = 0:\]

\[3 \cdot 0 + y = 10\]

\[y = 10.\]

\[Ответ:\left( 3\frac{1}{3};0 \right)\ и\ (0;10).\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ y = \frac{1}{2}x - 3;\ \ \ \ k = \frac{1}{2}.\]

\[\textbf{б)}\ y = \frac{1}{2}\text{x\ }параллельна\]

\[\ y = \frac{1}{2}x - 3;\ \ так\ как\ \]

\[коэффициенты\ \text{k\ }у\ них\]

\[одинаковые\ \left( y = \frac{1}{2}x;\ \ k = \frac{1}{2} \right).\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[2x - y = - 6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x + 2y = - 8\]

\[y = 2x + 6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y = \frac{- 8 - x}{2}\]

\[2x + 6 = \frac{- 8 - x}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ | \cdot 2\]

\[4x + 12 = - 8 - x\]

\[5x = - 20\]

\[x = - 4.\]

\[y = 2x + 6\]

\[y = 2 \cdot ( - 4) + 6\]

\[y = - 2.\]

\[Ответ:( - 4;\ - 2) - точка\ \]

\[пересечения.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ x - монет\ по\ 2\ рубля;\]

\[y - монет\ по\ 5\ рублей.\]

\[Известно,\ что\ всего\ 26\ монет\]

\[на\ сумму\ 82\ рубля.\]

\[Составим\ систему\ уравнений:\]

\[\left\{ \begin{matrix} 2x + 5y = 82 \\ x + y = 26\ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 26 - y\ \ \ \ \ \\ 2x + 5y = 82 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[2 \cdot (26 - y) + 5y = 82\]

\[52 - 2y + 5y = 82\]

\[3y = 30\]

\[y = 10\ (монет) -\]

\[пятирублевые.\]

\[x = 26 - y = 26 - 10 =\]

\[= 16\ (монет) - двухрублевые.\]

\[Ответ:16\ двухрублевых\ и\]

\[10\ пятирублевых\ монет.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[y = 2,5x;\ (6;9)\]

\[Если\ прямые\ параллельны,\ то\]

\[они\ имеют\ одинаковый\ \]

\[коэффициент:k = 2,5.\]

\[y = kx + b\]

\[подставим\ \text{k\ }и\ точку\ (6;\ 9):\]

\[9 = 2,5 \cdot 6 + b\]

\[b = 9 - 15\]

\[b = - 6.\]

\[Уравнение\ нужной\ прямой:\ \ \]

\[y = 2,5x - 6.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Уравнение\ прямой:\ \ \]

\[y = kx + b.\]

\[\left\{ \begin{matrix} - 6 = k \cdot 0 + b\ \ \ \\ - 1 = k \cdot 15 + b \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} b = - 6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 15k + b = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[15k - 6 = - 1\]

\[15k = 5\]

\[k = \frac{1}{3}.\]

\[Уравнение\ нужной\ прямой:\ \ \]

\[\ y = \frac{1}{3}x - 6.\]

\[\boxed{\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + y^{2} = 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x - y = 4\]

\[y² = 8 - x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y = x - 4\]

\[y = \sqrt{8 - x^{2}}\]

\[\left( \sqrt{8 - x^{2}} \right)^{2} = (x - 4)^{2}\]

\[8 - x^{2} = x^{2} - 8x + 16\]

\[2x^{2} - 8x + 8 = 0\]

\[x^{2} - 4x + 4 = 0\]

\[(x - 2)^{2} = 0\]

\[x = 2.\]

\[y = x - 4\]

\[y = 2 - 4 = - 2.\]

\[(2;\ - 2) - точка\ пересечения.\]

\[\boxed{\mathbf{9}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x + 3y = - 15\]

\[- 3 + 3 \cdot ( - 4) = - 15 \rightarrow\]

\[\rightarrow ( - 3;\ - 4).\]

\[- 6 + 3 \cdot ( - 3) = - 15 \rightarrow\]

\[\rightarrow ( - 6; - 3).\]

\[- 9 + 3 \cdot ( - 2) = - 15 \rightarrow\]

\[\rightarrow ( - 9; - 2).\]

\[- 12 + 3 \cdot ( - 1) = - 15 \rightarrow\]

\[\rightarrow ( - 12; - 1).\]

\[Ответ:\ \ \]

\[( - 3; - 4);\ \ ( - 6; - 3);\ \ \]

\[( - 9; - 2);\ \ ( - 12; - 1).\]