Решебник по алгебре 8 класс Дорофеев контрольные работы КР-5. Системы уравнений Вариант 4

1. Какие из следующих пар чисел являются решениями уравнения 3x-y=2:

(0; -2), (1,5; 0), (-4; -10), (-1; -5)?

2. Вычислите координаты точек пересечения прямой x+2y=-9 с осью х и с осью у.

3. а) Постройте прямую, заданную уравнением y=-2x+3.

б) Какая из прямых: y=-2x-3; y=-2x или y=1/2*x – пересекает эту прямую? Постройте эту прямую в той же системе координат.

4. На рисунке изображены две прямые, пересекающиеся в точке D. Найдите координаты этой точки.

5. Составьте систему уравнений по условию задачи: «В школьной столовой в понедельник было продано 56 кексов и 20 бутылок воды на 1280 р., а во вторник — 50 кексов и 35 бутылок воды на 1700 р. Какова цена одного кекса и одной бутылки воды?»

6. Запишите уравнение прямой, которая параллельна прямой у=-1,5x и проходит через точку (8; -2).

7. Прямая проходит через точки (0; -4) и (2; 9). Составьте уравнение этой прямой.

8. Имеют ли окружность x^2+y^2=9 и прямая x-y=-3 общие точки? Если имеют, то укажите их координаты. Дайте ответ, не выполняя построение.

*9. Найдите все точки прямой x+5y=20, координаты которых являются целыми положительными числами. Дайте ответ, не выполняя построение.

\[\boxed{\mathbf{Вариант}\mathbf{\ 4}\mathbf{.}\mathbf{\ }Еуроки\ - \ ДЗ\ без\ мороки}\]

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[3x - y = 2\]

\[(0; - 2):\]

\[3 \cdot 0 - ( - 2) = 2.\]

\[(1,5;0):\]

\[3 \cdot 1,5 - 0 = 4,5 \neq 2.\]

\[( - 4; - 10):\]

\[3 \cdot ( - 4) - ( - 10) = - 2 \neq 2.\]

\[( - 1;\ - 5):\]

\[3 \cdot ( - 1) - ( - 5) = 2.\]

\[(0; - 2);( - 1; - 5) \Longrightarrow являются\]

\[решениями\ уравнения.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x + 2y = - 9\]

\[Пересекает\ \text{OX\ }в\ y = 0:\]

\[x + 2 \cdot 0 = - 9\]

\[x = - 9.\]

\[x + 2y = - 9\]

\[Пересекает\ \text{OY\ }в\ x = 0:\]

\[0 + 2y = - 9\]

\[y = - 4,5.\]

\[Ответ:( - 9;0)\ и\ (0; - 4,5).\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ y = - 2x + 3;\ \ k = - 2.\]

\[\textbf{б)}\ y = \frac{1}{2}\text{x\ }\left( k = \frac{1}{2} \right)\ пересекает\ \]

\[y = - 2x + 3;\ \ так\ как\ \]

\[коэффиценты\ k\ у\ них\ разные.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[2x + y = - 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x - 2y = 3\]

\[y = - 4 - 2x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y = \frac{3 - x}{- 2}\]

\[- 4 - 2x = \frac{3 - x}{- 2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ | \cdot ( - 2)\]

\[8 + 4x = 3 - x\]

\[5x = - 5\]

\[x = - 1.\]

\[y = - 4 - 2x\]

\[y = - 4 - 2 \cdot ( - 1)\]

\[y = - 2.\]

\[( - 1; - 2) - точка\ пересечения.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ x\ р. - цена\ кекса;\]

\[\text{y\ }р. - цена\ бутылки\ воды.\]

\[56x + 20y = 1280\ (р.) -\]

\[выручка\ в\ понедельник;\]

\[50x + 35y = 1700\ (р.) -\]

\[выручка\ во\ вторник.\]

\[Составим\ систему\ уравнений:\]

\[\left\{ \begin{matrix} 56x + 20y = 1280\ \ \ |\ :4 \\ 50x + 35y = 1700\ \ \ |\ :5 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} 14x + 5y = 320\ \ \ | \cdot 7 \\ 10x + 7y = 340\ \ \ | \cdot 5 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 98x + 35y = 2240 \\ 50x + 35y = 1700 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ }( - )\]

\[98x - 50x = 2240 - 1700\]

\[48x = 540\]

\[x = 11,25\ (р.) - цена\ кекса.\]

\[50 \cdot 11,25 + 35y = 1700\]

\[35y = 1700 - 562,5\]

\[35y = 1137,5\]

\[y = 32,5\ (р.) - цена\ бутылки\]

\[воды.\]

\[Ответ:11,25\ рубля;\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 32,5\ рубля.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[y = - 1,5x;\ (8; - 2)\]

\[Если\ прямые\ параллельны,\ то\]

\[они\ имеют\ одинаковый\ \]

\[коэффициент:k = - 1,5.\]

\[y = kx + b\]

\[подставим\ \text{k\ }и\ точку\ (8;\ - 2):\]

\[- 2 = - 1,5 \cdot 8 + b\]

\[b = - 2 + 12\]

\[b = 10.\]

\[Уравнение\ нужной\ прямой:\ \ \]

\[y = - 1,5x + 10.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\left\{ \begin{matrix} - 4 = k \cdot 0 + b \\ 9 = k \cdot 2 + b\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} b = - 4\ \ \ \ \ \ \ \\ 2k + b = 9 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[2k - 4 = 9\]

\[2k = 13\]

\[k = 6,5.\]

\[Уравнение\ прямой:\ \ \]

\[y = 6,5x - 4.\]

\[\boxed{\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + y^{2} = 9\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x - y = - 3\]

\[y^{2} = 9 - x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y = x + 3\]

\[y = \sqrt{9 - x^{2}}\]

\[\left( \sqrt{9 - x^{2}} \right)^{2} = (x + 3)^{2}\]

\[9 - x^{2} = x^{2} + 6x + 9\]

\[2x^{2} + 6x = 0\]

\[2x(x + 3) = 0\]

\[x_{1} = 0;\ \ \ \ \ \ x_{2} = - 3.\]

\[y_{1} = x_{1} + 3 = 0 + 3 = 3.\]

\[y_{2} = x_{2} + 3 = - 3 + 3 = 0.\]

\[(0;\ 3)\ и\ ( - 3;0) - точки\ \]

\[пересечения.\]

\[\boxed{\mathbf{9}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x + 5y = 20\]

\[5 + 5 \cdot 3 = 20 \rightarrow (5;3).\]

\[10 + 5 \cdot 2 = 20 \rightarrow (10;2).\]

\[15 + 5 \cdot 1 = 20 \rightarrow (15;1).\]

\[Ответ:(5;3);\ \ (10;2);\ \ (15;1).\]

## КР-6. Функции