Решебник по алгебре 8 класс Дорофеев контрольные работы КР-5. Системы уравнений Вариант 2

1. Какие из следующих пар чисел являются решениями уравнения x-3y=2:

(0; -1,5), (2; 0), (-4; –2), (3; 1)?

2. Вычислите координаты точек пересечения прямой 2x+y=-5 с осью х и с осью у.

3. а) Постройте прямую, заданную уравнением y=2x-3.

б) Какая из прямых: y=2x; y=1/2*x или y=2x+3 – пересекает данную прямую? Постройте эту прямую в той же системе координат.

4. На рисунке изображены две прямые, пересекающиеся в точке B. Найдите координаты этой точки.

5. Составьте систему уравнений по условию задачи: «В шести больших и восьми маленьких коробках вместе 116 карандашей, а в трех больших и десяти маленьких – 118 карандашей. Сколько карандашей в большой коробке и сколько в маленькой?»

6. Запишите уравнение прямой, которая параллельна прямой у=-2,5x и проходит через точку (6; -10).

7. Прямая проходит через точки (0; 6) и (15; 1). Составьте уравнение этой прямой.

8. Имеют ли окружность x^2+y^2=4 и прямая x+y=2 общие точки? Если имеют, то укажите их координаты. Дайте ответ, не выполняя построение.

*9. Найдите все точки прямой x+5y=-20, координаты которых являются целыми отрицательными числами. Дайте ответ, не выполняя построение.

\[\boxed{\mathbf{Вариант}\mathbf{\ 2}\mathbf{.}\mathbf{\ }Еуроки\ - \ ДЗ\ без\ мороки}\]

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x - 3y = 2\]

\[(0; - 1,5):\]

\[0 - 3 \cdot ( - 1,5) = 4,5 \neq 2.\]

\[(2;0):\]

\[2 - 3 \cdot 0 = 2.\]

\[( - 4; - 2):\]

\[- 4 - 3 \cdot ( - 2) = 2.\]

\[(3;1):\]

\[3 - 3 \cdot 1 = 0 \neq 2\]

\[\ (2;0);\ ( - 4; - 2) \Longrightarrow являются\ \]

\[решениями.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[2x + y = - 5\]

\[Пересекает\ \text{OX\ }при\ y = 0:\]

\[2x + 0 = - 5\]

\[x = - 2,5.\]

\[2x + y = - 5\]

\[Пересекает\ \text{OY\ }при\ x = 0:\]

\[2 \cdot 0 + y = - 5\]

\[y = - 5.\]

\[Ответ:\ \ ( - 2,5;0)\ и\ (0;\ - 5).\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ y = 2x - 3;\ \ \ \ k = 2.\]

\[\textbf{б)}\ прямая\ y = \frac{1}{2}\text{x\ }пересекает\ \]

\[y = 2x - 3,\ так\ как\ \]

\[коэффициенты\ k\ у\ них\ разные.\]

\[y = \frac{1}{2}x \Longrightarrow k = \frac{1}{2}.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[2x - y = 6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x + 2y = 8\]

\[y = 2x - 6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y = \frac{8 - x}{2}\]

\[2x - 6 = \frac{8 - x}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ | \cdot 2\]

\[4x - 12 = 8 - x\]

\[5x = 20\]

\[x = 4.\]

\[y = 2x - 6\]

\[y = 2 \cdot 4 - 6\]

\[y = 2.\]

\[Ответ:\]

\[(4;2) - точка\ пересечения.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ \text{x\ }карандашей - в\ \]

\[большой\ коробке;\]

\[y\ карандашей - в\ маленькой\]

\[коробке.\]

\[Известно,\ что:\]

\[6x + 8y = 116\ карандашей;\]

\[3x + 10y = 118\ карандашей.\]

\[Составим\ систему\ уравнений:\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 6x + 8y = 116\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3x + 10y = 118\ \ \ \ | \cdot 2 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} 6x + 8y = 116\ \ \\ 6x + 20y = 236 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ }( - )\]

\[20y - 8y = 236 - 116\]

\[12y = 120\]

\[y = 10\ (маленьких) - коробок.\]

\[6x + 8 \cdot 10 = 116\]

\[6x = 116 - 80\]

\[6x = 36\]

\[x = 6\ (больших) - коробок.\]

\[Ответ:6\ больших;\ \]

\[10\ маленьких\ коробок.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[y = - 2,5x;\ (6; - 10)\]

\[Если\ прямые\ параллельны,\ то\]

\[они\ имеют\ одинаковый\ \]

\[коэффициент:k = - 2,5.\]

\[y = kx + b\]

\[подставим\ \text{k\ }и\ точку\ (6;\ - 10):\]

\[- 10 = - 2,5 \cdot 6 + b\]

\[- 10 = - 15 + b\]

\[b = 5.\]

\[Уравнение\ нужной\ прямой:\ \ \]

\[\ y = - 2,5x + 5.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(0;6);\ \ \ \ (15;1):\ \ \ \ \]

\[y = kx + b.\]

\[\left\{ \begin{matrix} 6 = k \cdot 0 + b\ \ \ \\ 1 = k \cdot 15 + b \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} b = 6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 15k + b = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[15k + 6 = 1\]

\[15k = - 5\]

\[k = - \frac{1}{3}\]

\[Уравнение\ прямой:\ \]

\[y = - \frac{1}{3}x + 6.\]

\[\boxed{\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + y^{2} = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x + y = 2\]

\[y^{2} = 4 - x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y = 2 - x\]

\[y = \sqrt{4 - x^{2}}\]

\[\left( \sqrt{4 - x^{2}} \right)^{2} = (2 - x)^{2}\]

\[4 - x^{2} = 4 - 4x + x^{2}\]

\[2x^{2} - 4x = 0\]

\[2x(x - 2) = 0\]

\[x_{1} = 0;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{2} = 2.\]

\[y_{1} = 2 - x_{1} = 2 - 0 = 2;\]

\[y_{2} = 2 - x_{2} = 2 - 2 = 0.\]

\[Ответ:\ \ (0;2)\ и\ \ (2;0) -\]

\[точки\ пересечения.\]

\[\boxed{\mathbf{9}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x + 5y = - 20\]

\[- 5 + 5 \cdot ( - 3) = - 20 \rightarrow\]

\[\rightarrow ( - 5;\ - 3).\]

\[- 10 + 5 \cdot ( - 2) = - 20 \rightarrow\]

\[\rightarrow ( - 10; - 2).\]

\[- 15 + 5 \cdot ( - 1) = - 20 \rightarrow\]

\[\rightarrow ( - 15; - 1).\]

\[Ответ:\]

\[( - 5;\ - 3);( - 10; - 2);( - 15;\ - 1).\]