Решебник по алгебре 8 класс Дорофеев контрольные работы КР-4. Квадратные уравнения Вариант 1

1. Определите, имеет ли корни уравнение 3x^2-11x+7=0.

2. Решите неполное квадратное уравнение:

а) 4x^2-20=0

б) 2x+8x^2=0

3. Решите уравнение:

а) 2x^2-x-3=0

б) x^2-x=2x-5

4. Квадратный трёхчлен x^2-2x-15 разложите на множители, если это возможно.

5. Решите задачу с помощью уравнения: «В прямоугольнике одна сторона на 4 см меньше другой, а его площадь равна 96 см^2. Найдите стороны прямоугольника».

6. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни, равные 2 и –1/2, и преобразуйте его так, чтобы все коэффициенты были целыми числами.

7. Найдите все целые значения р, при которых уравнение x^2+рх+12=0 имеет целые корни.

8. Решите уравнение x^4-3x^2-4=0.

*9. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 91 больше их произведения. Найдите эти числа.

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[3x^{2} - 11x + 7 = 0\ \ \ \ \]

\[D = 121 - 84 = 37\]

\[x_{1} = \frac{11 + \sqrt{37}}{6};\ \ x_{2} = \frac{11 - \sqrt{37}}{6}\]

\[Ответ:\frac{11 \pm \sqrt{37}}{6}.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ 4x^{2} - 20 = 0\]

\[4x^{2} = 20\]

\[x^{2} = 5\]

\[x = \pm \sqrt{5}.\]

\[Ответ:x = \pm \sqrt{5}.\]

\[\textbf{б)}\ 2x + 8x^{2} = 0\]

\[2x(1 + 4x) = 0\]

\[1)\ 2x = 0\]

\[x = 0.\]

\[2)\ 1 + 4x = 0\]

\[x = - \frac{1}{4}.\]

\[Ответ:x = 0;\ \ x = \frac{1}{4}.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ 2x^{2} - x - 3 = 0\]

\[D = 1 + 24 = 25\]

\[x_{1} = \frac{1 - 5}{4} = - \frac{4}{4} = - 1;\ \ \ \ \ \ \]

\[x_{2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1,5.\]

\[Ответ:x = - 1;x = 1,5.\]

\[\textbf{б)}\ x^{2} - x = 2x - 5\]

\[x^{2} - 3x + 5 = 0\]

\[D = 9 - 20 < 0 \Longrightarrow нет\ корней.\]

\[Ответ:нет\ корней.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)\]

\[D_{1} = 1 + 15 = 16\]

\[x_{1} = 1 + 4 = 5;\ \ x_{2} = 1 - 4 = - 3.\]

\[Ответ:\ x^{2} - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a = b + 4\ (см);\ \ \ \ S = a \cdot b = 96\ см.\]

\[Составим\ уравнение:\ \]

\[(b + 4)b = 96\]

\[b^{2} + 4b - 96 = 0\]

\[D = 16 + 384 = 400\]

\[b_{1} = \frac{- 4 + 20}{2} = 8\ (см) - одна\ сторона\]

\[прямоугольника.\text{\ \ \ }\]

\[b_{2} = \frac{- 4 - 20}{2} = - 12\ (не\ подходит).\]

\[b = 8\ см:\ \ \]

\[a = 8 + 4 = 12\ (см) - вторая\ сторона\ \]

\[прямоугольника.\]

\[Ответ:8\ см\ и\ 12\ см.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x_{1} = 2;\text{\ \ \ \ }x_{2} = - \frac{1}{2}\]

\[\left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{2} \right) = 0\]

\[(x - 2)\left( x + \frac{1}{2} \right) = 0\]

\[x^{2} + \frac{1}{2}x - 2x - 1 = 0\ \ \ |\text{·}2\]

\[2x^{2} + x - 4x - 2 = 0\]

\[2x^{2} - 3x - 2 = 0.\]

\[Ответ:2x^{2} - 3x - 2 = 0.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + px + 12 = 0\]

\[\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - p\ \\ x_{1} \cdot x_{2} = q\ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \right.\ \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - p \\ x_{1} \cdot x_{2} = 12\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 4 \cdot 3 = 6 \cdot 2 =\]

\[= 12 \cdot 1 = 12\]

\[p_{1} = 1 + 12 = 13;\text{\ \ \ \ }\]

\[p_{2} = 2 + 6 = 8;\text{\ \ \ }\]

\[p_{3} = 3 + 4 = 7.\]

\[Ответ:\ \ p = \left\{ - 7;\ - 8;\ - 13 \right\}.\]

\[\boxed{\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{4} - 3x^{2} - 4 = 0\ \ \ \ \ \]

\[Сделаем\ замену:\ \ \ \ t = x^{2}\]

\[t^{2} - 3t - 4 = 0\]

\[D = 9 + 16 = 25\]

\[t_{1} = \frac{3 + 5}{2} = 4;\text{\ \ }t_{2} = \frac{3 - 5}{2} = - 1.\]

\[Подставим:\]

\[1)\ x^{2} = 4\]

\[x = \pm 2.\]

\[2)\ x^{2} = - 1\]

\[нет\ корней.\]

\[Ответ:x = \pm 2.\]

\[\boxed{\mathbf{9}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ a;\ \ \ a + 1 - два\ последовательных\]

\[натуральных\ числа.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[a^{2} + (a + 1)^{2} = a(a + 1) + 91\]

\[a^{2} + a^{2} + 2a + 1 = a^{2} + a + 91\]

\[a^{2} + a - 90 = 0\]

\[D = 1 + 360 = 361 = 19^{2}\]

\[a_{1} = \frac{- 1 + 19}{2} = 9;\ \]

\[a_{2} = \frac{- 1 - 19}{2} = - 10 \rightarrow не\ натуральное\ \]

\[число.\]

\[a = 9:\text{\ \ \ \ \ }\]

\[a + 1 = 9 + 1 = 10.\]

\[Ответ:9\ и\ 10.\]