Решебник по алгебре 8 класс Дорофеев контрольные работы КР-5. Системы уравнений Вариант 1

1. Какие из следующих пар чисел являются решениями уравнения 2x-y=4:

(0; 4), (2; 0), (3; –10), (3; –2)?

2. Вычислите координаты точек пересечения прямой x+4y=6 с осью х и с осью у.

3. а) Постройте прямую, заданную уравнением y=-1/2*x+3.

б) Какая из прямых: y=-1/2*x; y=-2x или y=1/2*x – параллельна прямой? Постройте эту прямую в той же системе координат.

4. На рисунке изображены две прямые, пересекающиеся в точке А. Найдите координаты этой точки.

5. Составьте систему уравнений по условию задачи: «Для компьютерного класса купили 100 дисков, упакованных в коробки по 5 и по 12 дисков в каждой коробке. Сколько купили коробок каждого вида, если всего было куплено 13 коробок?»

6. Запишите уравнение прямой, которая параллельна прямой у=3,5x и проходит через точку (–4; 6).

7. Прямая проходит через точки (0; 4) и (–2; –9). Составьте уравнение этой прямой.

8. Имеют ли окружность x^2+y^2=10 и прямая x+y=5 общие точки? Если имеют, то укажите их координаты. Дайте ответ, не выполняя построение.

*9. Найдите все точки прямой x+3y=15, координаты которых являются целыми положительными числами. Дайте ответ, не выполняя построение.

\[\boxed{\mathbf{Вариант}\mathbf{\ 1}\mathbf{.}\mathbf{\ }Еуроки\ - \ ДЗ\ без\ мороки}\]

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[2x - y = 4\]

\[(0;4):\]

\[2 \cdot 0 - 4 = - 4 \neq 4.\]

\[(2;0):\]

\[2 \cdot 2 - 0 = 4 = 4.\]

\[(3; - 10):\]

\[2 \cdot 3 - ( - 10) = 6 + 10 = 16 \neq 4.\]

\[(3;\ - 2):\]

\[2 \cdot 3 - ( - 2) = 6 + 2 = 8 \neq 4.\]

\[(2;0) \Longrightarrow является\ решением\ \]

\[уравнения.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пересечение\ с\text{\ OX\ }при\ \ y = 0:\]

\[x + 4y = 6\]

\[x + 4 \cdot 0 = 6\]

\[x = 6.\]

\[Пересечение\ с\ OY\ при\ x = 0:\]

\[x + 4y = 6\]

\[0 + 4y = 6\]

\[y = \frac{6}{4} = 1,5.\]

\[Ответ:(6;0)\ и\ \ (0;1,5).\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\textbf{а)}\ y = - \frac{1}{2}x + 3\]

\[\textbf{б)}\ Прямые\ параллельны,\ если\]

\[их\ угловые\ коэффициенты\]

\[равны.\ \]

\[y = - \frac{1}{2}x + 3 \Longrightarrow k = - \frac{1}{2}.\]

\[Параллельна\ ей:\]

\[y = - \frac{1}{2}\text{x.}\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[2x + y = - 3 \Longrightarrow y = - 3 - 2x\]

\[x - 2y = - 4 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow y = \frac{- 4 - x}{- 2} = \frac{4 + x}{2}\]

\[- 3 - 2x = \frac{4 + x}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ | \cdot 2\]

\[- 6 - 4x = 4 + x\]

\[1)\ - 6 - 4 = x + 4x\]

\[- 10 = 5x\]

\[x = - 2.\]

\[2)\ y = - 3 - 2x\]

\[y = - 3 - 2 \cdot ( - 2) = - 3 + 4\]

\[y = 1.\]

\[Ответ:A\ ( - 2;1).\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ x\ коробок - по\ \ 5\ дисков;\]

\[y\ коробок - по\ 12\ дисков.\]

\[Известно,\ что\ всего\ купили\]

\[100\ дисков\ и\ 13\ коробок.\]

\[Составим\ систему\ уравнений:\]

\[\left\{ \begin{matrix} 5x + 12y = 100 \\ x + y = 13\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x = 13 - y\]

\[Подставим:\]

\[5 \cdot (13 - y) + 12y = 100\]

\[65 - 5y + 12y = 100\]

\[7y = 35\]

\[y = 5\ (коробок) - по\ 12\ дисков\]

\[купили.\]

\[x = 13 - y = 13 - 5 =\]

\[= 8\ (коробок) - по\ 5\ дисков\ \]

\[купили.\]

\[Ответ:8\ коробок\ и\ 5\ коробок.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[y = 3,5x;\ \ ( - 4;6).\]

\[Если\ прямые\ параллельны,\ то\]

\[они\ имеют\ одинаковый\ \]

\[коэффициент:\ \ k = 3,5.\]

\[y = kx + b\]

\[y = kx + b\]

\[подставим\ \text{k\ }и\ точку\ ( - 4;6):\]

\[6 = 3,5 \cdot ( - 4) + b\]

\[6 = - 14 + b\]

\[b = 6 + 14\]

\[b = 20.\]

\[Уравнение\ нужной\ прямой:\]

\[y = 3,5x + 20.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Проходит\ через\ точки:\]

\[(0;4);\ \ \ \ \ ( - 2; - 9)\text{.\ \ \ \ \ }\]

\[y = kx + b\]

\[Запишем\ систему\ уравнений,\]

\[используя\ данные:\]

\[\left\{ \begin{matrix} k \cdot 0 + b = 4 \Longrightarrow b = 4 \\ k \cdot ( - 2) + b = - 9\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[- 2k + b = - 9;\ \ b = 4:\]

\[- 2k + 4 = - 9\]

\[- 2k = - 13\ \ \ \ \ \ \ \ |\ :( - 2)\]

\[k = 6,5.\]

\[Уравнение\ прямой:\]

\[y = 6,5x + 4.\]

\[\boxed{\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + y^{2} = 10;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x + y = 5\]

\[y² = 10 - x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y = 5 - x\]

\[y = \sqrt{10 - x^{2}}\]

\[\left( \sqrt{10 - x^{2}} \right)^{2} = (5 - x)²\]

\[10 - x^{2} = 25 - 10x + x^{2}\]

\[2x^{2} - 10x + 15 = 0\]

\[D = 100 - 120 < 0 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow нет\ корней.\]

\[Ответ:\ \]

\[нет,\ не\ имеют\ общих\ точек.\]

\[\boxed{\mathbf{9}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x + 3y = 15\]

\[0 + 3 \cdot 5 = 15 \Longrightarrow «0»\ не\ \]

\[является\ положительным.\]

\[3 + 3 \cdot 4 = 15 \rightarrow (3;4).\]

\[6 + 3 \cdot 3 = 15 \rightarrow (6;3).\]

\[9 + 3 \cdot 2 = 15 \rightarrow (9;2).\]

\[12 + 3 \cdot 1 = 15 \rightarrow (12;1).\]

\[Ответ:\]

\[(3;4);(6;3);(9;2);(12;1).\]