Решебник по алгебре 8 класс Мерзляк контрольные работы КР-5. Квадратные уравнения. Теорема Виета Вариант 3

Условие:

1. Решите уравнение:

1) 4x^2-12=0

2) 7x^2+5x=0

3) x^2-6x-16=0

4) 15x^2-4x-3=0

5) x^2-7x+4=0

6) x^2+5x+9=0

2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу 4, а произведение – числу –3.

3. Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 88 см^2.

4. Число –3 является корнем уравнения 5x^2 + mx – 12 = 0. Найдите второй корень уравнения и значение m.

5. При каком значении а уравнение 3x^2 – 6x + а = 0 имеет единственный корень?

6. Известно, что x_1 и x_2 – корни уравнения x^2 + 6x – 13 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения x_1^2+x_2^2.

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ 4x^{2} - 12 = 0\]

\[4x^{2} = 12\]

\[x^{2} = 3\]

\[x = \pm \sqrt{3}.\]

\[Ответ:x = \pm \sqrt{3}.\]

\[2)\ 7x^{2} + 5x = 0\]

\[x(7x + 5) = 0\]

\[x = 0;\ \ \ \ 7x + 5 = 0\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7x = - 5\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = - \frac{5}{7}\]

\[Ответ:x = - \frac{5}{7};\ \ x = 0.\]

\[3)\ x^{2} - 6x - 16 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 6;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 16\]

\[x_{1} = 8;\ \ \ x_{2} = - 2.\]

\[Ответ:x = - 2;\ \ x = 8.\]

\[4)\ 15x^{2} - 4x - 3 = 0\]

\[D = 16 + 180 = 196\]

\[x_{1} = \frac{4 + 14}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0,6;\]

\[x_{2} = \frac{4 - 14}{30} = - \frac{10}{30} = - \frac{1}{3}.\]

\[Ответ:x = - \frac{1}{3};\ \ x = 0,6.\]

\[5)\ x^{2} - 7x + 4 = 0\]

\[D = 49 - 16 = 33\]

\[x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{2}.\]

\[Ответ:x = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{2}.\]

\[6)\ x^{2} + 5x + 9 = 0\]

\[D = 25 - 36 = - 11 < 0 - нет\ \]

\[корней.\]

\[Ответ:нет\ корней.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x_{1} + x_{2} = 4;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 3.\]

\[Приведенное\ квадратное\ \]

\[уравнение:\]

\[x^{2} - 4x - 3 = 0.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ x\ см - меньшая\ сторона\ \]

\[прямоугольника,\ тогда\]

\[(x + 3)\ см - большая\ сторона.\]

\[Площадь\ равна\ 88\ см^{2}.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[x(x + 3) = 88\]

\[x^{2} + 3x - 88 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 3;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 88\]

\[x_{1} = - 11\ (не\ подходит)\text{.\ \ \ }\]

\[x_{2} = 8\ (см) - меньшая\ \ \]

\[сторона\ прямоугольника.\]

\[x + 3 = 8 + 3 = 11\ (см) -\]

\[большая\ сторона.\]

\[Ответ:8\ см\ и\ 11\ см.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[5x^{2} + mx - 12 = 0;\ \ \ \ x_{1} = - 3\]

\[x_{1} \cdot x_{2} = - \frac{12}{5}\]

\[- 3x_{2} = - \frac{12}{5}\]

\[x_{2} = \frac{4}{5} = 0,8.\]

\[x_{1} + x_{2} = - \frac{m}{5}\]

\[- 3 + 0,8 = - \frac{m}{5}\]

\[- 2,2 = - \frac{m}{5}\]

\[m = 11.\]

\[Ответ:x_{2} = 0,8;\ \ m = 11.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[3x^{2} - 6x + a = 0\]

\[Уравнение\ имеет\ \ \]

\[единственный\ корень\ \]

\[при\ D = 0.\]

\[D = 36 - 4 \cdot 3a = 36 - 12a\]

\[36 - 12a = 0\]

\[12a = 36\]

\[a = 3.\]

\[Ответ:при\ a = 3.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + 6x - 13 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 6;\]

\[x_{1} \cdot x_{2} = - 13;\]

\[\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} = 36;\]

\[x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} =\]

\[= 36 - 2 \cdot ( - 13) =\]

\[= 36 + 26 = 62.\]

\[Ответ:62.\]