Решебник по алгебре 8 класс Мерзляк контрольные работы КР-5. Квадратные уравнения. Теорема Виета Вариант 2

Условие:

1. Решите уравнение:

1) 3x^2-15=0

2) 4x^2-7x=0

3) x^2+8x-9=0

4) 12x^2-5x-2=0

5) x^2-6x-3=0

6) x^2-3x+11=0

2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу 7, а произведение – числу –8.

3. Одна из сторон прямоугольника на 5 см меньше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 84 см^2.

4. Число –2 является корнем уравнения 3x^2 – 4x + a = 0. Найдите второй корень уравнения и значение а.

5. При каком значении а уравнение 5x^2 + 40x + а = 0 имеет единственный корень?

6. Известно, что x_1 и x_2 – корни уравнения x^2 – 8x + 11 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения x_1^2+x_2^2.

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ 3x^{2} - 15 = 0\]

\[3x^{2} = 15\]

\[x^{2} = 5\]

\[x = \pm \sqrt{5}\]

\[Ответ:x = \pm \sqrt{5}.\]

\[2)\ 4x^{2} - 7x = 0\]

\[x(4x - 7) = 0\]

\[x = 0;\ \ \ 4x - 7 = 0\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x = 7\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = 1,75\]

\[Ответ:x = 0;x = 1,75.\]

\[3)\ x^{2} + 8x - 9 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 8;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 9\]

\[x_{1} = - 9;\ \ \ x_{2} = 1.\]

\[Ответ:x = - 9;\ \ x = 1.\]

\[4)\ 12x^{2} - 5x - 2 = 0\]

\[D = 25 + 96 = 121\]

\[x_{1} = \frac{5 + 11}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3};\]

\[x_{2} = \frac{5 - 11}{24} = - \frac{6}{24} = - \frac{1}{4}.\]

\[Ответ:\ \ x = - \frac{1}{4};\ \ x = \frac{2}{3}.\]

\[5)\ x^{2} - 6x - 3 = 0\]

\[D_{1} = 9 + 3 = 12\]

\[x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{12} = 3 \pm 2\sqrt{3}.\]

\[Ответ:x = 3 \pm 2\sqrt{3}.\]

\[6)\ x^{2} - 3x + 11 = 0\]

\[D = 9 - 44 = - 35 < 0 - нет\ \]

\[корней.\]

\[Ответ:нет\ корней.\]

\[\boxed{\mathbf{2.}\mathbf{\ }}\]

\[x_{1} + x_{2} = 7;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 8.\]

\[Приведенное\ квадратное\ \]

\[уравнение:\]

\[x^{2} - 7x - 8 = 0.\]

\[\boxed{\mathbf{3.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ \text{x\ }см - меньшая\ сторона\ \]

\[прямоугольника;тогда\]

\[(x + 5)\ см - большая\ сторона.\]

\[Площадь\ прямоугольника\ \]

\[равна\ 84\ см^{2}.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[x(x + 5) = 84\]

\[x^{2} + 5x - 84 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 5;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 84\]

\[x_{1} = - 12\ (не\ подходит).\]

\[x_{2} = 7\ (см) - меньшая\ сторона\ \]

\[прямоугольника.\]

\[x + 5 = 7 + 5 = 12\ (см) - \ \]

\[большая\ сторона\ \]

\[прямоугольника.\]

\[Ответ:7\ см\ и\ 12\ см.\]

\[\boxed{\mathbf{4.}\mathbf{\ }}\]

\[3x^{2} - 4x + a = 0;\ \ \ x_{1} = - 2.\]

\[x_{1} + x_{2} = \frac{4}{3}\]

\[- 2 + x_{2} = 1\frac{1}{3}\]

\[x_{2} = 3\frac{1}{3}.\]

\[x_{1} \cdot x_{2} = \frac{a}{3}\]

\[- 2 \cdot 3\frac{1}{3} = \frac{a}{3}\]

\[\frac{a}{3} = - 2 \cdot \frac{10}{3} = - \frac{20}{3}\]

\[a = - 20.\]

\[Ответ:\ \ x_{2} = 1\frac{1}{3};\ \ a = - 20.\]

\[\boxed{\mathbf{5.}\mathbf{\ }}\]

\[5x^{2} + 40x + a = 0\]

\[Уравнение\ имеет\ \ \]

\[единственный\ корень\ \]

\[при\ D = 0.\]

\[D = 1600 - 4 \cdot 5a = 1600 - 20a\]

\[1600 - 20a = 0\]

\[20a = 1600\]

\[a = 80.\]

\[Ответ:при\ a = 80.\]

\[\boxed{\mathbf{6.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} - 8x + 11 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 8;\ \ \ \ \]

\[x_{1} \cdot x_{2} = 11;\]

\[\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} = 64\]

\[x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} =\]

\[= 64 - 2 \cdot 11 = 64 - 22 = 42.\]

\[Ответ:42.\]