Решебник по алгебре 8 класс Мерзляк контрольные работы КР-5. Квадратные уравнения. Теорема Виета Вариант 4

Условие:

1. Решите уравнение:

1) 3x^2-18=0

2) 8x^2-3x=0

3) x^2-x-20=0

4) 3x^2-2x-8=0

5) x^2+6x-2=0

6) x^2-4x+6=0

2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу –6, а произведение – числу 3.

3. Одна из сторон прямоугольника на 6 см меньше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 72 см^2.

4. Число 5 является корнем уравнения 4x^2 + 6x + k = 0. Найдите второй корень уравнения и значение k.

5. При каком значении а уравнение 4x^2 + 8x + а = 0 имеет единственный корень?

6. Известно, что x_1 и x_2 – корни уравнения x^2 + 10x + 4 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения x_1^2+x_2^2.

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ 3x^{2} - 18 = 0\]

\[3x^{2} = 18\]

\[x^{2} = 6\]

\[x = \pm \sqrt{6}\]

\[Ответ:x = \pm \sqrt{6}.\]

\[2)\ 8x^{2} - 3x = 0\]

\[x(8x - 3) = 0\]

\[x = 0;\ \ 8x - 3 = 0\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8x = 3\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = \frac{3}{8}\]

\[Ответ:x = 0;\ \ x = \frac{3}{8}.\]

\[3)\ x^{2} - x - 20 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 1;\ \ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 20\]

\[x_{1} = 5;\ \ \ x_{2} = - 4.\]

\[Ответ:x = - 4;\ \ x = 5.\]

\[4)\ 3x^{2} - 2x - 8 = 0\]

\[D = 4 + 96 = 100\]

\[x_{1} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2;\]

\[x_{2} = \frac{2 - 10}{6} = - \frac{4}{6} = - \frac{2}{3}.\]

\[Ответ:x = - \frac{2}{3};\ \ x = 2.\]

\[5)\ x^{2} + 6x - 2 = 0\]

\[D_{1} = 9 + 2 = 11\]

\[x_{1,2} = - 3 \pm \sqrt{11}.\]

\[Ответ:\ \ x = - 3 \pm \sqrt{11}.\]

\[6)\ x^{2} - 4x + 6 = 0\]

\[D = 16 - 24 = - 5 < 0 - нет\ \]

\[корней.\]

\[Ответ:нет\ корней.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x_{1} + x_{2} = - 6;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = 3\]

\[Приведенное\ квадратное\ \]

\[уравнение:\]

\[x^{2} + 6x + 3 = 0.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ \text{x\ }см - меньшая\ сторона\ \]

\[прямоугольника,\ тогда\]

\[(x + 6)\ см - больша\ сторона.\]

\[Площадь\ равна\ 72\ см^{2}.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[x(x + 6) = 72\]

\[x^{2} + 6x - 72 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 6;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 72\]

\[x_{1} = - 12\ (не\ подходит).\]

\[x_{2} = 6\ (см) - меньшая\ сторона\]

\[прямоугольника.\]

\[x + 6 = 6 + 6 = 12\ (см) -\]

\[большая\ сторона\ \]

\[прямоугольника.\]

\[Ответ:6\ см\ и\ 12\ см.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[4x^{2} + 6x + k = 0;\ \ \ x_{1} = 5\]

\[x_{1} + x_{2} = - \frac{6}{4}\]

\[5 + x_{2} = - 1,5\]

\[x_{2} = - 6,5.\]

\[x_{1} \cdot x_{2} = \frac{k}{4}\]

\[5 \cdot ( - 6,5) = \frac{k}{4}\]

\[k = - 130.\]

\[Ответ:x_{2} = - 6,5;\ \ k = - 130.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[4x^{2} + 8x + a = 0\]

\[Уравнение\ имеет\ \ \]

\[единственный\ корень\ \]

\[при\ D = 0.\]

\[D = 64 - 4 \cdot 4a = 64 - 16a\]

\[64 - 16a = 0\]

\[16a = 64\]

\[a = 4.\]

\[Ответ:при\ a = 4.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + 10x + 4 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 10;\]

\[x_{1} \cdot x_{2} = 4;\]

\[\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} = 100;\]

\[x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} =\]

\[= 100 - 2 \cdot 4 = 100 - 8 = 92.\]

\[Ответ:92.\]

## КР-6. Квадратный трехчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Решение задач с помощью рациональных уравнений