Решебник по алгебре 8 класс Мерзляк контрольные работы КР-6. Квадратный трехчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Решение задач с помощью рациональных уравнений Вариант 3

Условие:

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) x^2-2x-24

2) 3x^2+14x-5

2. Решите уравнение:

1) x^4+2x^2-8=0

2) (x^2+7x)/(x+8)=8/(x+8)

3. Сократите дробь (2a^2+9a-5)/(a^2-25).

4. Решите уравнение 3/(x^2+4x+4)+4/(x^2-4)=1/(x-2).

5. Теплоход прошёл 72 км против течения реки и 56 км по течению, затратив на путь против течения на 1 ч больше, чем на путь по течению. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки составляет 2 км/ч.

6. Постройте график функции y=(x^2+4x-5)/(x-1).

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ x^{2} - 2x - 24\]

\[x_{1} + x_{2} = 2;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 24\]

\[x_{1} = 6;\ \ \ x_{2} = - 4.\]

\[x^{2} - 2x - 24 = (x + 4)(x - 6).\]

\[2)\ 3x^{2} + 14x - 5\]

\[D_{1} = 49 + 15 = 64\]

\[x_{1} = \frac{- 7 + 8}{3} = \frac{1}{3};\ \]

\[x_{2} = \frac{- 7 - 8}{3} = - 5.\]

\[3x^{2} + 14x - 5 =\]

\[= 3 \cdot \left( x - \frac{1}{3} \right)(x + 5) =\]

\[= (3x - 1)(x + 5).\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ x^{4} + 2x^{2} - 8 = 0\]

\[Пусть\ x^{2} = t \geq 0:\]

\[t^{2} + 2t - 8 = 0\]

\[t_{1} + t_{2} = - 2;\ \ t_{1} \cdot t_{2} = - 8\]

\[t_{1} = - 4\ (не\ подходит);\]

\[t_{2} = 2.\]

\[x^{2} = 2\]

\[x = \pm \sqrt{2}.\]

\[Ответ:x = \pm \sqrt{2}.\]

\[2)\ \frac{x^{2} + 7x}{x + 8} = \frac{8}{x + 8};\ \ \ \ x \neq - 8\]

\[x^{2} + 7x - 8 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 7;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 8\]

\[x_{1} = - 8\ (не\ подходит);x_{2} = 1.\]

\[Ответ:x = 1.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{2a^{2} + 9a - 5}{a^{2} - 25} =\]

\[= \frac{(2a - 1)(a + 5)}{(a - 5)(a + 5)} = \frac{2a - 1}{a - 5}\]

\[2a^{2} + 9a - 5 =\]

\[= 2 \cdot \left( a - \frac{1}{2} \right)(a + 5) =\]

\[= (2a - 1)(a + 5)\]

\[D = 81 + 40 = 121\]

\[a_{1} = \frac{- 9 + 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};\]

\[a_{2} = \frac{- 9 - 11}{4} = - \frac{20}{4} = - 5.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{3}{x^{2} + 4x + 4} + \frac{4}{x^{2} - 4} = \frac{1}{x - 2}\]

\[\frac{3}{(x + 2)^{2}} + \frac{4}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{1}{x - 2} = 0\]

\[ОДЗ:\ \ x \neq 2;\ \ x \neq - 2.\]

\[3 \cdot (x - 2) + 4 \cdot (x + 2) - (x + 2)^{2} = 0\]

\[3x - 6 + 4x + 8 - x^{2} - 4x - 4 = 0\]

\[- x^{2} + 3x - 2 = 0\]

\[x^{2} - 3x + 2 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 3;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = 2\]

\[x_{1} = 2\ (не\ подходит);\ \ x_{2} = 1.\]

\[Ответ:x = 1.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ \text{x\ }\frac{км}{ч} - собственная\ \]

\[скорость\ теплохода;тогда\ \]

\[(x + 2)\ \frac{км}{ч} - скорость\ по\ \]

\[течению;\]

\[(x - 2)\ \frac{км}{ч} - скорость\ \]

\[против\ течения;\]

\[\frac{56}{x + 2}\ \ ч - шел\ по\ течению;\]

\[\frac{72}{x - 2}\ ч - шел\ против\ течения.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[\frac{72}{x - 2} - \frac{56}{x + 2} = 1;\ \ \ \ x \neq \pm 2\]

\[72(x + 2) - 56(x - 2) = x^{2} - 4\]

\[72x + 144 - 56x + 112 = x^{2} - 4\]

\[x^{2} - 16x - 4 - 256 = 0\]

\[x^{2} - 16x - 260 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 16;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 260\]

\[x_{1} = 26\ \left( \frac{км}{ч} \right) - собственная\ \]

\[скорость\ теплохода.\ \ \]

\[x_{2} = - 10\ (не\ подходит).\]

\[Ответ:26\ \frac{км}{ч}.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[y = \frac{x^{2} + 4x - 5}{x - 1} =\]

\[= \frac{(x + 5)(x - 1)}{x - 1} = x + 5;\]

\[x^{2} + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1).\]

\[x_{1} + x_{2} = - 4;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 5\]

\[x_{1} = - 5;\ \ x_{2} = 1.\]

\[y = x + 5;\ \ где\ x \neq 1.\]