Решебник по алгебре 8 класс Мерзляк контрольные работы КР-6. Квадратный трехчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Решение задач с помощью рациональных уравнений Вариант 2

Условие:

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) x^2+3x-40

2) 6x^2+x-12

2. Решите уравнение:

1) x^4-15x^2-16=0

2) (x^2+12)/(x-3)=7x/(x-3)

3. Сократите дробь (5a^2+3a-2)/(a^2-1).

4. Решите уравнение 4/(x^2-10x+25)-10/(x^2-25 )=1/(x+5).

5. Моторная лодка прошла 48 км по течению реки и 70 км против течения, затратив на путь по течению на 1 ч меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки составляет 2 км/ч.

6. Постройте график функции y=(x^2-3x-4)/(x+1).

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ x^{2} + 3x - 40\]

\[x_{1} + x_{2} = - 3;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 40\]

\[x_{1} = - 8;\ \ \ x_{2} = 5.\]

\[x^{2} + 3x - 40 = (x + 8)(x - 5).\]

\[2)\ 6x^{2} + x - 12\]

\[D = 1 + 288 = 289\]

\[x_{1} = \frac{- 1 + 17}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3};\]

\[x_{2} = \frac{- 1 - 17}{12} = - \frac{18}{12} = - \frac{3}{2}.\]

\[6x^{2} + x - 12 =\]

\[= 6 \cdot \left( x + \frac{3}{2} \right)\left( x - \frac{4}{3} \right) =\]

\[= (2x + 3)(3x - 4).\]

\[\boxed{\mathbf{2.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ x^{4} - 15x^{2} - 16 = 0\]

\[Пусть\ x^{2} = t \geq 0:\]

\[t^{2} - 15t - 16 = 0\]

\[t_{1} + t_{2} = 15;\ \ \ t_{1} \cdot t_{2} = - 16\]

\[t_{1} = 16;\ \ \ \]

\[t_{2} = - 1\ (не\ подходит).\]

\[x^{2} = 16\]

\[x = \pm 4.\]

\[Ответ:x = \pm 4.\]

\[2)\ \frac{x^{2} + 12}{x - 3} = \frac{7x}{x - 3};\ \ \ \ \ \ x \neq 3\]

\[x^{2} + 12 = 7x\]

\[x^{2} - 7x + 12 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 7;\ \ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = 12\]

\[x_{1} = 3;\ \ \ \ x_{2} = 4.\]

\[Ответ:x = 4.\]

\[\boxed{\mathbf{3.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{5a^{2} + 3a - 2}{a^{2} - 1} =\]

\[= \frac{(5a - 2)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{5a - 2}{a - 1}.\]

\[5a^{2} + 3a - 2 =\]

\[= 5 \cdot \left( a - \frac{2}{5} \right)(a + 1) =\]

\[= (5a - 2)(a + 1)\]

\[D = 9 + 40 = 49\]

\[a_{1} = \frac{- 3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5};\]

\[a_{2} = \frac{- 3 - 7}{10} = - 1.\]

\[\boxed{\mathbf{4.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{4}{x^{2} - 10x + 25} - \frac{10}{x^{2} - 25\ } = \frac{1}{x + 5}\]

\[\frac{4}{(x - 5)^{2}} - \frac{10}{(x - 5)(x + 5)} - \frac{1}{x + 5} = 0\]

\[ОДЗ:\ \ \ x \neq 5;\ \ x \neq - 5.\]

\[4 \cdot (x + 5) - 10 \cdot (x - 5) - (x - 5)^{2} = 0\]

\[4x + 20 - 10x + 50 - x^{2} + 10x - 25 = 0\]

\[- x^{2} + 4x + 45 = 0\]

\[x^{2} - 4x - 45 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 4;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 45\]

\[x_{1} = 9;\ \ \ \ \ \]

\[x_{2} = - 5\ (не\ подходит).\]

\[Ответ:x = 9.\]

\[\boxed{\mathbf{5.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ \text{x\ }\frac{км}{ч} - собственная\ \]

\[скорость\ лодки;тогда\ \]

\[(x + 2)\ \frac{км}{ч} - скорость\ по\ \]

\[течению;\]

\[(x - 2)\ \frac{км}{ч} - скорость\ \]

\[против\ течения;\]

\[\frac{48}{x + 2}\ \ ч - шла\ по\ течению;\]

\[\frac{70}{x - 2}\ ч - шла\ против\ течения.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[\frac{70}{x - 2} - \frac{48}{x + 2} = 1;\ \ \ \ x \neq \pm 2\]

\[70 \cdot (x + 2) - 48 \cdot (x - 2) = x^{2} - 4\]

\[70x + 140 - 48x + 96 = x^{2} - 4\]

\[x^{2} - 22x - 4 - 236 = 0\]

\[x^{2} - 22x - 240 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 22;\ \ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 240\]

\[x_{1} = 30\ \left( \frac{км}{ч} \right) - собственная\]

\[\ скорость\ лодки.\ \]

\[x_{2} = - 8\ (не\ подходит).\]

\[Ответ:30\ \frac{км}{ч}.\]

\[\boxed{\mathbf{6.}\mathbf{\ }}\]

\[y = \frac{x^{2} - 3x - 4}{x + 1} =\]

\[= \frac{(x + 1)(x - 4)}{x + 1} = x - 4\]

\[x^{2} - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4)\]

\[x_{1} + x_{2} = 3;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 4\]

\[x_{1} = 4;\ \ x_{2} = - 1.\]

\[y = x - 4;\ \ где\ x \neq - 1\]