Решебник по алгебре 8 класс Мерзляк контрольные работы КР-5. Квадратные уравнения. Теорема Виета Вариант 1

Условие:

1. Решите уравнение:

1) 5x^2-10=0

2) 3x^2+4x=0

3) x^2+6x-7=0

4) 3x^2+7x+2=0

5) x^2-3x+1=0

6) x^2-x+3=0

2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу 6, а произведение – числу 4.

3. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 44 см^2.

4. Число –6 является корнем уравнения 2x^2+ bx – 6 = 0. Найдите второй корень уравнения и значение b.

5. При каком значении а уравнение 2x^2 + 4x + a = 0 имеет единственный корень?

6. Известно, что x_1 и x_2 – корни уравнения x^2 – 14x + 5 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения x_1^2+ x_2^2.

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ 5x^{2} - 10 = 0\]

\[5 \cdot \left( x^{2} - 2 \right) = 0\]

\[5 \cdot \left( x - \sqrt{2} \right)\left( x + \sqrt{2} \right) = 0\]

\[x = \pm \sqrt{2}.\]

\[Ответ:x = \pm \sqrt{2}.\]

\[2)\ 3x^{2} + 4x = 0\]

\[x(3x + 4) = 0\]

\[x = 0;\ \ \ \ \ 3x + 4 = 0\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x = - 4\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = - \frac{4}{3} = - 1\frac{1}{3}\]

\[Ответ:x = - 1\frac{1}{3};\ \ x = 0.\]

\[3)\ x^{2} + 6x - 7 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 6;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 7\]

\[x_{1} = - 7;\ \ x_{2} = 1.\]

\[Ответ:x = - 7;\ \ x = 1.\]

\[4)\ 3x^{2} + 7x + 2 = 0\]

\[D = 49 - 48 = 1\]

\[x_{1} = \frac{- 7 + 1}{6} = - 1;\ \ \ \]

\[x_{2} = \frac{- 7 - 1}{6} = - \frac{8}{6} = - 1\frac{1}{3}.\]

\[Ответ:x = - 1\frac{1}{3};\ \ x = - 1.\]

\[5)\ x^{2} - 3x + 1 = 0\]

\[D = 9 - 4 = 5\]

\[x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\]

\[Ответ:\ \ x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}.\]

\[6)\ x^{2} - x + 3 = 0\]

\[D = 1 - 3 \cdot 4 =\]

\[= - 11 < 0 - нет\ корней.\]

\[Ответ:нет\ корней.\]

\[\boxed{\mathbf{2.}\mathbf{\ }}\]

\[x_{1} + x_{2} = 6;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = 4.\]

\[Приведенное\ квадратное\ \]

\[уравнение:\]

\[x^{2} - 6x + 4 = 0.\]

\[\boxed{\mathbf{3.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ \text{x\ }см - меньшая\ сторона\ \]

\[прямоугольника,\ \]

\[(x + 7)\ см - большая\ сторона.\]

\[Площадь\ равна\ 44\ см^{2}.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[x(x + 7) = 44\]

\[x^{2} + 7x - 44 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 7;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 44\]

\[x_{1} = - 11\ (не\ подходит).\]

\[x_{2} = 4\ (см) - меньшая\ сторона\ \]

\[прямоугольника.\]

\[x + 7 = 4 + 7 = 11\ (см) - \ \]

\[большая\ сторона\ \]

\[прямоугольника.\]

\[Ответ:4\ см\ и\ 7\ см.\]

\[\boxed{\mathbf{4.}\mathbf{\ }}\]

\[2x^{2} + bx - 6 = 0;\ \ \ \ x_{1} = - 6.\]

\[x_{1} \cdot x_{2} = - \frac{6}{2}\]

\[- 6x_{2} = - 3\]

\[x_{2} = \frac{1}{2}.\]

\[x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{2}\]

\[- 6 + \frac{1}{2} = - \frac{b}{2}\]

\[- \frac{b}{2} = - 5,5\]

\[b = 11.\]

\[Ответ:x_{2} = 0,5;\ \ b = 11.\]

\[\boxed{\mathbf{5.}\mathbf{\ }}\]

\[2x^{2} + 4x + a = 0\]

\[Уравнение\ имеет\ \ \]

\[единственный\ корень\ \]

\[при\ D = 0.\]

\[D = 16 - 4 \cdot 2a = 16 - 8a\]

\[16 - 8a = 0\]

\[8a = 16\]

\[a = 2.\]

\[Ответ:при\ a = 2.\]

\[\boxed{\mathbf{6.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} - 14x + 5 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 14;\ \ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = 5;\]

\[\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} = 14^{2} = 196.\]

\[x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} =\]

\[= 196 - 2 \cdot 5 = 196 - 10 = 186.\]

\[Ответ:186.\]