Решебник по алгебре 8 класс Мерзляк контрольные работы КР-7. Обобщение и систематизация знаний учащихся Вариант 2

Условие:

1. Сократите дробь (12a^10 b^2)/(16a^5 b^6).

2. Представьте в виде степени выражение (a^(-3))^(-4):a^20.

3. Упростите выражение √36a-√81a+√121a.

4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение (x+2)/(x^2+3x-4).

5. Докажите тождество

(2a/(a+3)-4a/(a^2+6a+9)):(a+1)/(a^2-9 )-(a^2-9a)/(a+3)=a.

6. Вместо автомобиля определённой грузоподъёмности для перевозки 45 т груза взяли другой автомобиль, грузоподъёмность которого на 2 т меньше, чем у первого. Из–за этого для перевозки груза понадобилось на 6 рейсов больше, чем планировалось. Найдите грузоподъёмность автомобиля, перевёзшего груз.

7. Докажите, что при любом значении p уравнение x^2 + px + p – 3 = 0 имеет два корня.

8. Постройте график функции

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{12a^{10}b^{2}}{16a^{5}b^{6}} = \frac{3a^{5}}{4b^{4}}.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\left( a^{- 3} \right)^{- 4}\ :a^{20} = a^{12}\ :a^{20} = a^{- 8}.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\sqrt{36a} - \sqrt{81a} + \sqrt{121a} =\]

\[= 6\sqrt{a} - 9\sqrt{a} + 11\sqrt{a} = 8\sqrt{a}.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{x + 2}{x^{2} + 3x - 4\ }\]

\[x^{2} + 3x - 4 \neq 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 3;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 4\]

\[x_{1} = - 4;\ \ \ x_{2} = 1.\]

\[D(y) = ( - \infty; - 4) \cup ( - 4;1) \cup (1; + \infty).\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\frac{2a^{\backslash a + 3}}{a + 3} - \frac{4a}{(a + 3)^{2}} =\]

\[= \frac{2a^{2} + 6a - 4a}{(a + 3)^{2}} =\]

\[= \frac{2a^{2} + 2a}{(a + 3)^{2}} = \frac{2a(a + 1)}{(a + 3)^{2}}\]

\[2)\ \frac{2a(a + 1)}{(a + 3)^{2}} \cdot \frac{a^{2} - 9}{a + 1} =\]

\[= \frac{2a(a - 3)(a + 3)}{(a + 3)^{2}} = \frac{2a(a - 3)}{a + 3}\ \]

\[3)\ \frac{2a(a - 3)}{a + 3} - \frac{a^{2} - 9a}{a + 3} =\]

\[= \frac{2a^{2} - 6a - a^{2} + 9a}{a + 3} =\]

\[= \frac{a^{2} + 3a}{a + 3} = \frac{a(a + 3)}{a + 3} = a\]

\[a = a\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ \text{x\ }т - грузоподъемность\ \]

\[первой\ машины;\]

\[(x - 2)\ т - грузоподъемность\ \]

\[второй\ машины.\ \]

\[\frac{45}{x} - рейсов\ сделала\ бы\ \]

\[первая\ машина;\]

\[\frac{45}{x - 2} - рейсов\ сделает\ \]

\[вторая\ машина.\]

\[По\ условию\ известно,\ что\ \ \]

\[рейсов\ сделано\ на\ 6\ больше.\ \]

\[Составляем\ уравнение:\]

\[\frac{45}{x - 2} - \frac{45}{x} = 6\]

\[45x - 45x + 90 - 6x^{2} + 12x = 0\ \ \]

\[ОДЗ:\ \ \ x \neq 2;\ \ x \neq 0.\]

\[- 6x^{2} + 12x + 90 = 0\ \ |\ :( - 6)\]

\[x^{2} - 2x - 15 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 2;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 15\ \ \]

\[x_{2} = - 3\ \Longrightarrow не\ удовлетворяет.\]

\[x_{2} = 5\ (тонн) -\]

\[грузоподъемность\ первой\]

\[машины.\]

\[5 - 2 = 3\ (тонны) -\]

\[грузоподъемность\ второй\ \]

\[машины.\]

\[Ответ:3\ тонны.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} + px + p - 3 = 0\]

\[Уравнение\ имеет\ два\ корня\ \]

\[при\ D > 0.\]

\[D = p^{2} - 4 \cdot (p - 3) =\]

\[= p^{2} - 4p + 12 =\]

\[= p^{2} - 4p + 4 + 8 =\]

\[= (p - 2)^{2} + 8 > 0 -\]

\[при\ любом\ значении\ p.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[y = \left\{ \begin{matrix} x^{2};\ \ x \leq 2 \\ \frac{8}{x};\ \ \ x > 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]