Решебник по алгебре 8 класс Мерзляк контрольные работы КР-6. Квадратный трехчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Решение задач с помощью рациональных уравнений Вариант 1

Условие:

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) x^2-5x-24

2) 3x^2-10x-8

2. Решите уравнение:

1) x^4-3x^2-4=0

2) (x^2-2x)/(x-7)=35/(x-7)

3. Сократите дробь (3a^2+7a-6)/(a^2-9).

4. Решите уравнение 5/(x^2-4x+4)-4/(x^2-4)=1/(x+2).

5. Лодка прошла 16 км по течению реки и 18 км против течения, затратив на путь против течения на 1 ч больше, чем на путь по течению. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки составляет 1 км/ч.

6. Постройте график функции y=(x^2-3x+2)/(x-2).

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ x^{2} - 5x - 24\]

\[x_{1} + x_{2} = 5;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 24\]

\[x_{1} = 8;\ \ x_{2} = - 3.\]

\[x^{2} - 5x - 24 = (x + 3)(x - 8).\]

\[2)\ 3x^{2} - 10x - 8\]

\[D_{1} = 25 + 24 = 49\]

\[x_{1} = \frac{5 + 7}{3} = 4;\ \ \]

\[x_{2} = \frac{5 - 7}{3} = - \frac{2}{3}.\]

\[3x^{2} - 10x - 8 =\]

\[= 3 \cdot \left( x + \frac{2}{3} \right)(x - 4) =\]

\[= (3x + 2)(x - 4).\]

\[\boxed{\mathbf{2.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ x^{4} - 3x^{2} - 4 = 0\]

\[Пусть\ x^{2} = t \geq 0:\]

\[t^{2} - 3t - 4 = 0\]

\[t_{1} + t_{2} = 3;\ \ t_{1} \cdot t_{2} = - 4\]

\[t_{1} = 4;\ \ \]

\[t_{2} = - 1 < 0\ (не\ подходит).\]

\[x^{2} = 4\]

\[x = \pm 2.\]

\[Ответ:x = \pm 2.\]

\[2)\frac{x^{2} - 2x}{x - 7} = \frac{35}{x - 7};\ \ \ \ \ \ x \neq 7\]

\[x^{2} - 2x - 35 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 2;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 35\]

\[x_{1} = 7;\ \ \ \ x_{2} = - 5.\]

\[Ответ:x = - 5.\]

\[\boxed{\mathbf{3.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{3a^{2} + 7a - 6}{a^{2} - 9} =\]

\[= \frac{(3a - 2)(a + 3)}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{3a - 2}{a - 3}\]

\[3a^{2} + 7a - 6 =\]

\[= 3 \cdot \left( a - \frac{2}{3} \right)(a + 3) =\]

\[= (3a - 2)(a + 3)\]

\[D = 49 + 72 = 121\]

\[a_{1} = \frac{- 7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};\]

\[a_{2} = \frac{- 7 - 11}{6} = - \frac{18}{6} = - 3.\]

\[\boxed{\mathbf{4.}\mathbf{\ }}\]

\[\frac{5}{x^{2} - 4x + 4} - \frac{4}{x^{2} - 4} = \frac{1}{x + 2}\]

\[\frac{5}{(x - 2)^{2}} - \frac{4}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{1}{x + 2} = 0\]

\[ОДЗ:\ \ x \neq 2;\ \ x \neq - 2.\]

\[5 \cdot (x + 2) - 4 \cdot (x - 2) - (x - 2)^{2} = 0\]

\[5x + 10 - 4x + 8 - x^{2} + 4x - 4 = 0\]

\[- x^{2} + 5x + 14 = 0\]

\[x^{2} - 5x - 14 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 5;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 14\]

\[x_{1} = 7;\ \ \ \ x_{2} = - 2.\]

\[Ответ:x = 7.\]

\[\boxed{\mathbf{5.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ \text{x\ }\frac{км}{ч} - собственная\ \]

\[скорость\ лодки;тогда\ \]

\[(x + 1)\ \frac{км}{ч} - скорость\ по\ \]

\[течению;\]

\[(x - 1)\ \frac{км}{ч} - скорость\ \]

\[против\ течения;\]

\[\frac{16}{x + 1}\ \ ч - шла\ по\ течению;\]

\[\frac{18}{x - 1}\ ч - шла\ против\ течения.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[\frac{18}{x - 1} - \frac{16}{x + 1} = 1;\ \ \ \ \ \ x \neq \pm 1\]

\[18 \cdot (x + 1) - 16 \cdot (x - 1) = x^{2} - 1\]

\[18x + 18 - 16x + 16 = x^{2} - 1\]

\[x^{2} - 2x - 1 - 34 = 0\]

\[x^{2} - 2x - 35 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = 2;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 35\]

\[x_{1} = - 5\ (не\ подходит).\]

\[x_{2} = 7\ \left( \frac{км}{ч} \right) - собственная\ \]

\[скорость\ лодки.\]

\[Ответ:7\ \frac{км}{ч}.\]

\[\boxed{\mathbf{6.}\mathbf{\ }}\]

\[y = \frac{x^{2} - 3x + 2}{x - 2} =\]

\[= \frac{(x - 1)(x - 2)}{x - 2} =\]

\[= x - 1;\ \ x \neq 2\]

\[x^{2} - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\]

\[x_{1} + x_{2} = 3;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = 2\]

\[x_{1} = 2;\ \ \ \ x_{2} = 1.\]

\[График\ функции\ \]

\[y = x - 1;\ \ где\ x \neq 2:\]