Решебник по алгебре 7 класс Макарычев ФГОС Задание 987

 

\[\boxed{\text{987.}\text{\ }еуроки - ответы\ на\ пятёрку}\]

\[\textbf{а)}\ 1005 \cdot 995 =\]

\[= (1000 - 5)(1000 + 5) =\]

\[= 1\ 000\ 000 - 25 = 999\ 975\]

\[\textbf{б)}\ 108 \cdot 92 =\]

\[= (100 + 8)(100 - 8) =\]

\[= 10\ 000 - 64 = 9936\]

\[\textbf{в)}\ 0,94 \cdot 1,06 =\]

\[= (1 - 0,06)(1 + 0,06) = 1 -\]

\[- 0,0036 = 0,9964\]

\[\textbf{г)}\ 1,09 \cdot 0,91 =\]

\[= (1 + 0,09)(1 - 0,09) =\]

\[= 1 - 0,0081 = 0,9919\]

\[\textbf{д)}\ 10\frac{1}{7} \cdot 9\frac{6}{7} = \frac{71}{7} \cdot \frac{69}{7} =\]

\[= \left( \frac{70}{7} + \frac{1}{7} \right)\left( \frac{70}{7} - \frac{1}{7} \right) = \frac{4900}{49} -\]

\[- \frac{1}{49} = \frac{4899}{49} = 99\frac{48}{49}\]

\[\textbf{е)}\ 99\frac{7}{9} \cdot 100\frac{2}{9} =\]

\[= \left( 100 - \frac{2}{9} \right)\left( 100 + \frac{2}{9} \right) =\]

\[= 10\ 000 - \frac{4}{81} =\]

\[= 9\ 999\frac{81}{81} - \frac{4}{81} =\]

\[= 9999\frac{77}{81}\]

\[\boxed{\text{987\ (987).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Разложим на множители с помощью:

1. Формулы разности кубов:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{b}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a - b} \right)\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ ab +}\mathbf{b}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{.}\]

2. Формулы суммы кубов:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{- ab +}\mathbf{b}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{.}\]

3. При возведении степени в степень (степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81) показатели перемножаются, а основание остается прежним:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{m \bullet n}}\mathbf{.}\]

4. Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель:

\[\left( \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{b}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

Решение.

\[\textbf{а)}\frac{27}{64} - y^{12} =\]

\[= \left( \frac{3}{4} - y^{4} \right)\left( \frac{9}{16} + \frac{3}{4}y^{4} + y^{8} \right)\]

\[\textbf{б)} - x^{15} + \frac{1}{27} =\]

\[= \left( \frac{1}{3} - x^{5} \right)\left( \frac{1}{9} + \frac{1}{3}x^{5} + x^{10} \right)\]

\[\textbf{в)}\ 3\frac{3}{8}a^{15} + b^{12} =\]

\[= \frac{27}{8}a^{15} + b^{12} =\]

\[= \left( \frac{3}{2}a^{5} + b^{4} \right)\left( \frac{9}{4}a^{10} - \frac{3}{2}a^{5}b^{4} + b^{8} \right)\]

\[\textbf{г)}\ 1\frac{61}{64}x^{18} + y³ =\]

\[= \frac{125}{64}x^{18} + y^{3} =\]

\[= \left( \frac{5}{4}x^{6} + y \right)\left( \frac{25}{16}x^{12} - \frac{5}{4}x^{6}y + y^{2} \right)\]