Решебник по алгебре 7 класс Макарычев ФГОС Задание 981

 

\[\boxed{\text{981.}\text{\ }еуроки - ответы\ на\ пятёрку}\]

\[\textbf{а)}\ 83^{4} + 65 = (81 + 2)^{4} + 65 =\]

\[= 81^{4} + 4 \cdot 81^{3} \cdot 2 + 6 \cdot 81^{2} \cdot\]

\[\cdot 4 + 4 \cdot 81 \cdot 8 + 16 + 65 =\]

\[= 81 \cdot\]

\[\cdot \left( 81^{3} + 8 \cdot 81^{2} + 32 + 1 \right) \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow делится\ на\ 81.\]

\[\textbf{б)}\ 141^{10} + 88 = (139 + 2)^{10} +\]

\[+ 88\text{.\ }\]

\[Используя\ треугольник\ \]

\[Паскаля\ для\ (139 + 2)^{10},\ \]

\[определим,\ что\]

\[последний\ член\ суммы\ 2^{10}\ не\ \]

\[кратен\ 139.\ Тогда\ \]

\[2^{10} + 88 = 1024 + 88 =\]

\[= 1112 = 8 \cdot 139 \Longrightarrow значит,\ \]

\[141^{10} + 88 - кратно\ 139.\]

\[\boxed{\text{981\ (981).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

При решении используем следующее:

1. Формулу произведения разности двух выражений на их сумму – произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

\[\left( \mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b} \right)\left( \mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b} \right)\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

2. При возведении степени в степень (степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81) показатели перемножаются, а основание остается прежним:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{m \bullet n}}\mathbf{.}\]

Решение.

\[\textbf{а)}\ x^{10} - 1 = (x^{5} - 1)(x^{5} + 1)\]

\[\textbf{б)}\ y^{12} - 16 =\]

\[= \left( y^{6} - 4 \right)\left( y^{6} + 4 \right) =\]

\[= (y^{3} - 2)(y^{3} + 2)(y^{6} + 4)\]

\[\textbf{в)}\ a^{2}x^{8} - 81 =\]

\[= (ax^{4} - 9)(ax^{4} + 9)\]

\[\textbf{г)}\ 36 - b^{4}y^{6} =\]

\[= (6 - b^{2}y^{3})(6 + b^{2}y^{3})\]

\[\textbf{д)}\ 25p^{4}q^{4} - 1 =\]

\[= (5p^{2}q^{2} - 1)(5p^{2}q^{2} + 1)\]

\[\textbf{е)} - 9 + 121m^{8}n^{8} =\]

\[= (11m^{4}n^{4} - 3)(11m^{4}n^{4} + 3)\]

\[\textbf{ж)}0,01x^{16} - 0,16 =\]

\[= (0,1x^{8} - 0,4)(0,1x^{8} + 0,4)\]

\[\textbf{з)}\ 1,69y^{14} - 1,21 =\]

\[= (1,3y^{7} - 1,1)(1,3y^{7} + 1,1)\]

\[\textbf{и)}\frac{4}{9}m^{6} - \frac{25}{36} =\]

\[= \left( \frac{2}{3}m^{3} - \frac{5}{6} \right)\left( \frac{2}{3}m^{3} + \frac{5}{6} \right)\ \]