Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 7 класс Макарычев ФГОС Задание 749
Задание 749
\[\boxed{\text{749.}\text{\ }еуроки - ответы\ на\ пятёрку}\]
Пояснение.
Решение.
\[Если\ n \cdot (2n + 1)(7n + 1)\ \]
\[делится\ на\ 6,\ то\ значит\ оно\ \]
\[делится\ на\ 2\ и\ на\ 3.\ \]
\[Докажем\ делимость\ на\ 2.\]
\[Если\ \text{n\ }четное,\ то\ \]
\[n \cdot (2n + 1)(7n + 1) - кратно\ 2;\]
\[если\ n - нечетное,\ то\ \]
\[(7n + 1) - четное,\ а\ значит,\]
\[n \cdot (2n + 1)(7n + 1) - кратно\ 2.\]
\[Теперь\ докажем\ делимость\ \]
\[на\ 3.\]
\[1)\ если\ \text{n\ }делится\ на\ 3,\ то\ \ \]
\[n \cdot (2n + 1)(7n + 1) -\]
\[тоже\ делится\ на\ 3.\]
\[2)\ если\ n\ не\ делится\ на\ 3,\ то\ \]
\[остаток\ равен\ 1\ или\ 2.\]
\[Рассмотрим\ случай,\ когда\ \]
\[остаток\ равен\ 1:\ \]
\[тогда\ n = 3k + 1.\]
\[2n + 1 = 2 \cdot (3k + 1) + 1 =\]
\[= 6k + 2 + 1 = 6k + 3 =\]
\[= 3 \cdot (2k + 1) - кратно\ 3,\ \]
\[значит,\ n \cdot (2n + 1)(7n + 1) -\]
\[делится\ на\ 3.\]
\[Расмотрим\ случай,\ когда\ \]
\[остаток\ равен\ 2:\ \]
\[тогда\ n = 3k + 2.\]
\[7n + 1 = 7 \cdot (3k + 2) + 1 =\]
\[= 21k + 14 + 1 = 21k + 15 =\]
\[= 3 \cdot (7k + 5) - кратно\ 3 \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow n \cdot (2n + 1)(7n + 1) -\]
\[делится\ на\ 3.\]
\[3)\ Так\ как\ n \cdot (2n + 1)(7n + 1)\text{\ \ }\]
\[делится\ на\ 2\ и\ на\ 3\ без\ остатка\ \]
\[при\ любом\ натуральном\ n,\ то\ \]
\[n \cdot (2n + 1)(7n + 1)\ \ делится\ \]
\[на\ 6.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\text{749\ (749).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
\[Пусть\ \overline{\text{abc}} - данное\ число.\ Если\ \]
\[к\ нему\ приписать\ слева\ 5,\ то\ \]
\[получится:\]
\[5\overline{\text{abc}} = 5000 + 100a + 10b + c.\ \ \ \]
\[Если\ из\ него\ вычести\ 3032,\ то\ \]
\[получится:\]
\[9 \cdot \overline{\text{abc}} = 9 \cdot (100a + 10b + c) =\]
\[= 900a + 90b + 9c.\]
\[Составим\ уравнение:\]
\[100a + 10b + c + 1968 =\]
\[= 900a + 90b + 9c\]
\[800a + 80b + 8c = 1968\]
\[8 \cdot (100a + 10b + c) = 1968\]
\[100a + 10b + c = 1968\ :8\]
\[\overline{\text{abc}} = 246 - данное\ число.\]
\[Ответ:246.\]
