Решебник по алгебре 7 класс Макарычев ФГОС Задание 1024

 

\[\boxed{\text{1024.}\text{\ }еуроки - ответы\ на\ пятёрку}\]

\[111\ 111 - 222 = 111 \cdot\]

\[\cdot (1001 - 2) = 111 \cdot 999 =\]

\[= 111 \cdot 111 \cdot 3 \cdot 3 =\]

\[= (3 \cdot 111)^{2} = (333)²\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\text{1024\ (1024).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Тождество – это равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных (буквы x, a, b и тд.).

При решении используем следующее:

1. Формулу квадрата суммы:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

2. Распределительное свойство умножения – число, стоящее перед скобкой, нужно умножить на каждое число в скобке:

\[\mathbf{a}\left( \mathbf{b + c} \right)\mathbf{= ab + ac.}\]

3. Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, нужно 100 умножить на число, стоящее перед пятеркой, и умножить на это же число, увеличенное на единицу, затем прибавить 25.

Решение.

\[(10n + 5)^{2} = 100n(n + 1) + 25\]

\[100n^{2} + 100n + 25 =\]

\[= 100n^{2} + 100n + 25\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[Правило:\]

\[чтобы\ возвести\ в\ квадрат\ \]

\[число,\ оканчивающееся\ \]

\[цифрой\ 5,\ нужно\ 100\ \]

\[умножить\ на\ число\ десятков\ \]

\[и\ умножить\ на\ следующее\ \]

\[за\ ним\ число,\ затем\ \]

\[прибавить\ 25.\ \]

\[25^{2} = 100 \cdot 2 \cdot (2 + 1) + 25 =\]

\[= 200 \cdot 3 + 25 = 600 + 25 =\]

\[= 625;\]

\[45^{2} = 100 \cdot 4 \cdot (4 + 1) + 25 =\]

\[= 400 \cdot 5 + 25 = 2000 + 25 =\]

\[= 2025;\]

\[75^{2} = 100 \cdot 7 \cdot (7 + 1) + 25 =\]

\[= 700 \cdot 8 + 25 = 5600 + 25 =\]

\[= 5625;\]

\[115^{2} =\]

\[= 100 \cdot 11 \cdot (11 + 1) + 25 =\]

\[= 1100 \cdot 12 + 25 =\]

\[= 13200 + 25 = 13\ 225.\]