Решебник по алгебре 7 класс Макарычев ФГОС Задание 1020

 

\[\boxed{\text{1020.}\text{\ }еуроки - ответы\ на\ пятёрку}\]

\[\left( p^{2} + cq^{2} \right)\left( r^{2} + cs^{2} \right) = p^{2}r^{2} +\]

\[+ cp^{2}s^{2} + cr^{2}q^{2} + c^{2}s^{2}q^{2}\]

\[(pr + cqs)^{2} + c(ps - qr)^{2} =\]

\[= p^{2}r^{2} + 2prcqs + c^{2}q^{2}s^{2} +\]

\[+ c\left( p^{2}s^{2} - 2psqr + q^{2}r^{2} \right) =\]

\[= p^{2}r^{2} + 2prcqs + c^{2}q^{2}s^{2} +\]

\[+ cp^{2}s^{2} - 2psqrc + cq^{2}r^{2} =\]

\[= p^{2}r^{2} + cp^{2}s^{2} + cr^{2}q^{2} +\]

\[+ c^{2}s^{2}q^{2} \Longrightarrow следовательно,\ \]

\[\left( p^{2} + cq^{2} \right)\left( r^{2} + cs^{2} \right) =\]

\[= (pr + cqs)^{2} + c(ps - qr)^{2}\]

\[\boxed{\text{1020\ (1020).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

При решении используем:

1. Формулу разности кубов:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{b}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a - b} \right)\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ ab +}\mathbf{b}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{.}\]

2. Формулу суммы кубов:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{\bullet}\left( \mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{- ab +}\mathbf{b}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{.}\]

3. Способ группировки:

1) сгруппировать члены выражения так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель;

2) в каждой группе вынести общий множитель за скобки;

3) образовавшийся общий для обеих групп множитель вынести за скобки.

\[\mathbf{ax + bx + 5}\mathbf{a + 5}\mathbf{b =}\left( \mathbf{ax + bx} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{5}\mathbf{a + 5}\mathbf{b} \right)\mathbf{=}\mathbf{x \bullet}\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{+ 5 \bullet}\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{=}\]

\[\mathbf{=}\left( \mathbf{a + b} \right)\left( \mathbf{x + 5} \right)\mathbf{.}\]

4. Чтобы вынести общий множитель за скобки, надо каждый член многочлена разделить на их наибольший общий делитель и результат записать в скобках, а общий множитель за скобками:

\[\mathbf{ab + b}\mathbf{m}\mathbf{= b \bullet}\left( \mathbf{a + m} \right)\mathbf{.}\]

5. Формулу произведения разности двух выражений на их сумму – произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

\[\left( \mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b} \right)\left( \mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b} \right)\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

Решение.

\[\textbf{а)}\ x³ + y³ + 2x² - 2xy + 2y^{2} =\]

\[= (x^{2} - xy + y^{2})(x + y + 2)\]

\[\textbf{б)}\ a³ - b^{3} + 3a^{2} + 3ab + 3b^{2} =\]

\[= (a^{2} + ab + b^{2})(a - b + 3)\]

\[\textbf{в)}\ a^{4} + ab³ - a^{3}b - b^{4} =\]

\[= \left( a^{2} - b^{2} \right)\left( a^{2} - ab + b^{2} \right) =\]

\[= (a - b)(a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\]

\[\textbf{г)}\ x^{4} + x³y - xy^{3} - y^{4} =\]

\[= \left( x^{2} - y^{2} \right)\left( x^{2} + xy + y^{2} \right) =\]

\[= (x - y)(x + y)(x^{2} + xy + y^{2})\]