Решебник по алгебре 7 класс Рурукин контрольные работы КР-2. Уравнения с одной переменной Вариант 5

Условие:

1. Решите уравнение | x − 1 | + | x − 4 | = 3.

2. Решите уравнение (a − 3)(a + 2) * x = a + 2 при всех значениях параметра a.

3. Количество компьютеров на трех складах относится как 1 : 2 : 3. С первого склада было продано 7 компьютеров, с третьего склада – 16 компьютеров, а на второй склад привезли 17 компьютеров. После этого на втором складе стало столько же компьютеров, сколько на первом и третьем складах вместе. Сколько компьютеров было на каждом складе сначала?

4. . Катер по течению реки за 5 ч проплыл такое же расстояние, которое проплывает против течения реки за 8 ч. Во сколько раз собственная скорость катера больше скорости течения реки?

5. Докажите, что уравнение (x + 3)(x + 4)(x + 5) = 31 не имеет целых корней.

6. При каких целых значениях параметра а уравнение a * x = = 5 + 2x имеет целые корни? Найдите эти корни.

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[|x - 1| + |x - 4| = 3\]

\[x = 1;\ \ x = 4\]

\[Сумма\ расстояний\ от\ числа\ \]

\[\text{x\ }до\ чисел\ \ 1\ и\ 4\ должна\ \]

\[равняться\ 3.\]

\[1 \leq x \leq 4 - верно.\]

\[Ответ:1 \leq x \leq 4.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(a - 3)(a + 2) \cdot x = a + 2\]

\[\ \ при\ a \neq 3;a \neq - 2:\]

\[x = \frac{a + 2}{(a - 3)(a + 2)} = \frac{1}{a - 3}.\]

\[при\ a = 3:\]

\[(3 - 3)(3 + 2)x = 3 + 2\]

\[0x = 5\]

\[нет\ корней.\]

\[при\ a = - 2:\]

\[( - 3 - 2)( - 2 + 2)x = - 2 + 2\]

\[0x = 0\]

\[x - любое\ число.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ \text{x\ }комп. - на\ первом\ \]

\[складе,\ \]

\[2x\ комп. - на\ втором\ складе;\]

\[3\text{x\ }комп. - на\ третьем\ складе.\]

\[Стало\ компьютеров:\]

\[(x - 7)\ штук - на\ первом\ \]

\[складе;\]

\[(2x + 17)\ штук - на\ втором\ \]

\[складе;\]

\[(3x - 16)\ штук - на\ третьем\ \]

\[складе.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[2x + 17 = (x - 7) + (3x - 16)\]

\[2x + 17 = x - 7 + 3x - 16\]

\[2x - 4x = - 23 - 17\]

\[- 2x = - 40\]

\[x = 20\ (компьютеров) - на\ \]

\[первом\ складе.\]

\[2 \cdot 20 = 40\ (комп.) - на\ \]

\[втором\ складе.\]

\[3 \cdot 20 = 60\ (комп.) - на\ \]

\[третьем\ складе.\]

\[Ответ:20,\ 40\ и\ 60\ компьютеров.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Пусть\ x\frac{км}{ч} - собственная\ \ \]

\[скорость\ катера,\ \]

\[y\frac{км}{ч} - скорость\ течения\ \]

\[реки.\]

\[5 \cdot (x + y)\ км - проплыл\ по\ \]

\[течению;\]

\[8 \cdot (x - y)\ км - проплыл\ \]

\[против\ течения.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[5x + 5y = 8x - 8y\]

\[5y + 8y = 8x - 5x\]

\[13y = 3x\]

\[x = \frac{13}{3}y = 4\frac{1}{3}\text{y.}\]

\[Значит,\ собственная\ скорость\]

\[\ катера\ \ в\ 4\frac{1}{3}\ раза\ больше\ \]

\[скорости\ реки.\]

\[Ответ:в\ 4\frac{1}{3}\ раза.\ \]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 31\]

\[Пусть\ x - целый\ корень.\ \]

\[Тогда\ числа\ \]

\[x\ + \ 3,\ x\ + \ 4,\ x + \ 5\ –\ целые\ и\ \]

\[последовательные.\ \]

\[Среди\ трех\ последовательных\ \ \]

\[целых\ чисел\ обязательно\ одно\ \]

\[делится\ на\ 2\ и\ одно\ - \ на\ 3\ \]

\[(например,\ числа\ 7,\ 8,\ 9),\ \]

\[поэтому\ произведение\ таких\ \]

\[чисел\ без\ остатка\ делится\ на\]

\[2\ \cdot \ 3\ = \ 6.\ \]

\[Следовательно,\ левая\ часть\ \ \]

\[уравнения\ кратна\ 6.\ \]

\[В\ правой\ части\ уравнения\ \]

\[стоит\ число\ 31,\ которое\ \ \ \]

\[делится\ на\ 6\ с\ остатком\ 1.\ \]

\[Получаем\ противоречие.\ \]

\[Поэтому\ данное\ уравнение\ не\ \ \]

\[может\ иметь\ целых\ корней.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a \cdot x = 5 + 2x\]

\[ax - 2x = 5\]

\[x(a - 2) = 5\]

\[при\ a \neq 2:\]

\[x = \frac{5}{a - 2};\]

\[a - 2\ должно\ быть\ делителем\ \]

\[числа\ 5.\]

\[a - 2\ должно\ быть\ равно \pm 1;\ \pm 5.\]

\[1)\ a - 2 = 1\]

\[при\ a = 3:\]

\[x = \frac{5}{3 - 2} = \frac{5}{1} = 5.\]

\[2)\ a - 2 = - 1\]

\[при\ a = 1:\]

\[x = \frac{5}{1 - 2} = \frac{5}{- 1} = - 5.\]

\[3)\ a - 2 = 5:\]

\[при\ \ a = 7:\]

\[x = \frac{5}{7 - 2} = \frac{5}{5} = 1.\]

\[4)\ a - 2 = - 5\]

\[при\ a = - 3:\]

\[x = \frac{5}{- 3 - 2} = - 1.\]