Решебник по алгебре 7 класс Мерзляк контрольные работы КР-4. Формулы сокращенного умножения Вариант 3

Условие:

1. Представьте в виде многочлена выражение:

1) (x – 2)^2;

2) (3m + 9n)^2;

3) (c + 8)(c − 8);

4) (2a + 5b)(5b − 2a).

2. Разложите на множители:

1) 100 – a^2;

2) x^2 + 10x + 25;

3) 36y^2 − 49;

4) 16a^2 − 24ab + 9b^2.

3. Упростите выражение (m − 1)(m + 1) − (m − 3)^2.

4. Решите уравнение:

(2x + 5)(x − 6) + 2(3x + 2)(3x − 2) = 5(2x + 1)^2+ 11.

5. Представьте в виде произведения выражение:

(2b − 1)^2− (b + 2)^2.

6. Упростите выражение (c + 4)(c − 4)(c^2 + 16) − (c^2 − 8)^2 и найдите его значение при c =-1/4.

7. Докажите, что выражение x^2 − 8x + 18 принимает положительные значения при всех значениях x.

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ (x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4\]

\[2)\ (3m + 9n)^{2} =\]

\[= 9m^{2} + 54mn + 81n^{2}\]

\[3)\ (c + 8)(c - 8) = c^{2} - 64\]

\[4)\ (2a + 5b)(5b - 2a) =\]

\[= 25b^{2} - 4a^{2}\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ 100 - a^{2} = (10 - a)(10 + a)\]

\[2)\ x^{2} + 10x + 25 = (x + 5)^{2} =\]

\[= (x + 5)(x + 5)\]

\[3)\ 36y^{2} - 49 =\]

\[= (6y - 7)(6y + 7)\]

\[4)\ 16a^{2} - 24ab + 9b^{2} =\]

\[= (4a - 3b)^{2} =\]

\[= (4a - 3b)(4a - 3b)\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(m - 1)(m + 1) - (m - 3)^{2} =\]

\[= m^{2} - 1 - \left( m^{2} - 6m + 9 \right) =\]

\[= m^{2} - 1 - m^{2} + 6m - 9 =\]

\[= 6m - 10\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(2x + 5)(x - 6) + 2(3x + 2)(3x - 2) =\]

\[= 5(2x + 1)^{2} + 11\]

\[2x^{2} - 12x + 5x - 30 + 2\left( 9x^{2} - 4 \right) =\]

\[= 5\left( 4x^{2} + 4x + 1 \right) + 11\]

\[2x^{2} - 7x - 30 + 18x^{2} - 8 =\]

\[= 20x^{2} + 20x + 5 + 11\]

\[20x^{2} - 20x^{2} - 7x - 20x = 16 + 38\]

\[- 27x = 54\]

\[x = - 2.\]

\[Ответ:x = - 2.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(2b - 1)^{2} - (b + 2)^{2} =\]

\[= (2b - 1 - b - 2)(2b - 1 + b + 2) =\]

\[= (b - 3)(3b + 1)\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(c + 4)(c - 4)\left( c^{2} + 16 \right) - \left( c^{2} - 8 \right)^{2} =\]

\[= \left( c^{2} - 16 \right)\left( c^{2} + 16 \right) - \left( c^{4} - 16c^{2} + 64 \right) =\]

\[c^{4} - 256 - c^{4} + 16c^{2} - 64 =\]

\[= 16c^{2} - 320\]

\[c = - \frac{1}{4}:\]

\[16 \cdot \left( - \frac{1}{4} \right)^{2} - 320 =\]

\[= 16 \cdot \frac{1}{16} - 320 = 1 - 320 =\]

\[= - 319.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} - 8x + 18 =\]

\[= x^{2} - 8x + 16 + 2 =\]

\[= (x - 4)^{2} + 2 > 0\ при\ любом\ x,\ \]

\[так\ как\ (x - 4)^{2} \geq 0;\ \ 2 > 0.\]