Решебник по алгебре 7 класс Мерзляк контрольные работы КР-4. Формулы сокращенного умножения Вариант 4

Условие:

1. Представьте в виде многочлена выражение:

1) (p + 8)^2;

2) (10x − 3y)^2;

3) (x − 9)(x + 9);

4) (4m + 7n)(7n − 4m).

2. Разложите на множители:

1) 16 – c^2;

2) p^2 + 2p + 1;

3) 9m^2 − 25;

4) 36m^2 + 24mn + 4n^2.

3. Упростите выражение (a − 10)^2− (a − 5)(a + 5).

4. Решите уравнение:

(2x − 7)(x + 1) + 3(4x − 1)(4x + 1) = 2(5x − 2)^2− 53.

5. Представьте в виде произведения выражение:

(3a + 1)^2− (a + 6)^2.

6. Упростите выражение (2 − x)(2 + x)(4 + x^2) + (6 – x^2)^2 и найдите его значение при x=-1/2.

7. Докажите, что выражение x^2 − 18x + 84 принимает положительные значения при всех значениях x.

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ (p + 8)^{2} = p^{2} + 16p + 64\]

\[2)\ (10x - 3y)^{2} =\]

\[= 100x^{2} - 60xy + 9y^{2}\]

\[3)\ (x - 9)(x + 9) = x^{2} - 81\]

\[4)\ (4m + 7n)(7n - 4m) =\]

\[= 49n^{2} - 16m^{2}\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ 16 - c^{2} = (4 - c)(4 + c)\]

\[2)\ p^{2} + 2p + 1 = (p + 1)^{2} =\]

\[= (p + 1)(p + 1)\]

\[3)\ 9m^{2} - 25 =\]

\[= (3m - 5)(3m + 5)\]

\[4)\ 36m^{2} + 24mn + 4n^{2} =\]

\[= (6m + 2n)^{2} =\]

\[= (6m + 2n)(6m + 2n)\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(a - 10)^{2} - (a - 5)(a + 5) =\]

\[= a^{2} - 20a + 100 - a^{2} + 25 =\]

\[= - 20a + 125\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(2x - 7)(x + 1) + 3(4x - 1)(4x + 1) =\]

\[= 2(5x - 2)^{2} - 53\]

\[2x^{2} - 7x + 2x - 7 + 3\left( 16x^{2} - 1 \right) =\]

\[= 2\left( 25x^{2} - 20x + 4 \right) - 53\]

\[2x^{2} - 5x - 7 + 48x^{2} - 3 =\]

\[= 50x^{2} - 40x + 8 - 53\]

\[50x^{2} - 50x^{2} - 5x + 40x =\]

\[= - 45 + 10\]

\[35x = - 35\]

\[x = - 1\]

\[Ответ:x = - 1.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(3a + 1)^{2} - (a + 6)^{2} =\]

\[= (3a + 1 - a - 6)(3a + 1 + a + 6) =\]

\[= (2a - 5)(4a + 7)\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(2 - x)(2 + x)\left( 4 + x^{2} \right) + \left( 6 - x^{2} \right)^{2} =\]

\[= \left( 4 - x^{2} \right)\left( 4 + x^{2} \right) + \left( 6 - x^{2} \right)^{2} =\]

\[= 16 - x^{4} + 36 - 12x^{2} + x^{4} =\]

\[= - 12x^{2} + 52\]

\[x = - \frac{1}{2}:\]

\[- 12 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right)^{2} + 52 =\]

\[= - 12 \cdot \frac{1}{4} + 52 = - 3 + 52 = 49.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} - 18x + 84 =\]

\[= x^{2} - 18x + 81 + 3 =\]

\[= (x - 9)^{2} + 3 > 0\ при\ любом\ x,\]

\[так\ как\ (x - 9)^{2} \geq 0;\ \ 3 > 0.\]

## КР-5. Сумма и разность двух выражений. Применение различных способов разложения многочлена на множители