Решебник по алгебре 7 класс Мерзляк контрольные работы КР-4. Формулы сокращенного умножения Вариант 2

Условие:

1. Представьте в виде многочлена выражение:

1) (m – 5)^2;

2) (2a + 7b)^2;

3) (a + 3)(a − 3);

4) (8x + 5y)(5y − 8x).

2. Разложите на множители:

1) x^2 − 81;

2) y^2 − 6y + 9;

3) 16x^2 − 49;

4) 9a^2 + 30ab + 25b^2.

3.Упростите выражение (n – 6)^2 − (n − 2)(n + 2).

4. Решите уравнение:

(7x + 1)(x − 3) + 20(x − 1)(x + 1) = 3(3x – 2)^2 + 13.

5. Представьте в виде произведения выражение:

(2a + 1)^2 − (a – 9)^2.

6. Упростите выражение (b − 5)(b + 5)(b^2 + 25) − (b^2 – 9)^2 и найдите его значение при b=-1/3.

7. Докажите, что выражение x^2 − 12x + 38 принимает положительные значения при всех значениях x.

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ (m - 5)^{2} = m^{2} - 10m + 25\]

\[2)\ (2a + 7b)^{2} =\]

\[= 4a^{2} + 28ab + 49b²\]

\[3)\ (a + 3)(a - 3) = a^{2} - 9\]

\[4)\ (8x + 5y)(5y - 8x) =\]

\[= 25y^{2} - 64x²\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ x^{2} - 81 = (x - 9)(x + 9)\]

\[2)\ y^{2} - 6y + 9 = (y - 3)^{2} =\]

\[= (y - 3)(y - 3)\]

\[3)\ 16x^{2} - 49 =\]

\[= (4x - 7)(4x + 7)\]

\[4)\ 9a^{2} + 3ab + 25b^{2} =\]

\[= (3a + 5b)^{2} =\]

\[= (3a + 5b)(3a + 5b)\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(n - 6)^{2} - (n - 2)(n + 2) =\]

\[= n^{2} - 12n + 36 - n^{2} + 4 =\]

\[= - 12n + 40\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(7x + 1)(x - 3) + 20(x - 1)(x + 1) =\]

\[= 3(3x - 2)^{2} + 13\]

\[7x^{2} + x - 21x - 3 + 20x^{2} - 20 =\]

\[= 3 \cdot \left( 9x^{2} - 12x + 4 \right) + 13\]

\[27x^{2} - 20x - 23 =\]

\[= 27x^{2} - 36x + 12 + 13\]

\[- 20x + 36x = 25 + 23\]

\[16x = 48\]

\[x = 3.\]

\[Ответ:x = 3.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(2a + 1)^{2} - (a - 9)^{2} =\]

\[= (2a + 1 - a + 9)(2a + 1 + a - 9) =\]

\[= (a + 10)(3a - 8)\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[(b - 5)(b + 5)\left( b^{2} + 25 \right) - \left( b^{2} - 9 \right)^{2} =\]

\[= \left( b^{2} - 25 \right)\left( b^{2} + 25 \right) - (b^{4} - 18b^{2} + 81) =\]

\[= b^{4} - 625 - b^{4} + 18b^{2} - 81 =\]

\[= 18b^{2} - 706\]

\[b = - \frac{1}{3}:\]

\[18 \cdot \left( - \frac{1}{3} \right)^{2} - 706 =\]

\[= 18 \cdot \frac{1}{9} - 706 = 2 - 706 =\]

\[= - 704.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x^{2} - 12x + 38 =\]

\[= x^{2} - 12x + 36 + 2 =\]

\[= (x - 6)^{2} + 2 > 0\ при\ любом\ x,\ \]

\[так\ как\ (x - 6)^{2} \geq 0;\ \ 2 > 0.\]