Решебник по алгебре 7 класс Мерзляк контрольные работы КР-5. Сумма и разность двух выражений. Применение различных способов разложения многочлена на множители Вариант 3

Условие:

1. Разложите на множители:

1) 1000m^3-n^3

2) 81a^3-ab^2

3)-8x^2-16xy-8y^2

4) 5mn+15m-10n-30

5) 256-b^4

2. Упростите выражение y(y-5)(y+5)-(y+2)(y^2-2y+4).

3. Разложите на множители:

1) a^2-36b^2+a-6b

2) 25x^2-10y+y^2-9

3) ay^7+y^7-ay^3-y^3

4) 4-m^2+14mn-49n^2

4. Решите уравнение:

1) 2x^3-32x=0

2) 81x^3+18x^2+x=0

3) x^3+6x^2-x-6=0

5. Докажите, что значение выражения 2^9+10^3 делится нацело на 18.

6. Известно, что a-b=10; ab=7. Найдите значение выражения (a+b)^2.

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ 1000m^{3} - n^{3} =\]

\[= (10m - n)\left( 100m^{2} + 10mn + n^{2} \right)\]

\[2)\ 81a^{3} - ab^{2} = a\left( 81a^{2} - b^{2} \right) =\]

\[= a(9a - b)(9a + b)\]

\[3) - 8x^{2} - 16xy - 8y^{2} =\]

\[= - 8 \cdot \left( x^{2} + 2xy + y^{2} \right) =\]

\[= - 8 \cdot (x + y)(x + y)\]

\[4)\ 5mn + 15m - 10n - 30 =\]

\[= 5m(n + 3) - 10(n + 3) =\]

\[= (n + 3)(5m - 10) =\]

\[= 5 \cdot (n + 3)(m - 2)\]

\[5)\ 256 - b^{4} =\]

\[= \left( 16 - b^{2} \right)\left( 16 + b^{2} \right) =\]

\[= (4 - b)(4 + b)\left( 16 + b^{2} \right)\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[y(y - 5)(y + 5) - (y + 2)\left( y^{2} - 2y + 4 \right) =\]

\[= y\left( y^{2} - 25 \right) - \left( y^{3} + 8 \right) =\]

\[= y^{3} - 25y - y^{3} - 8 =\]

\[= - 25y - 8.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ a^{2} - 36b^{2} + a - 6b =\]

\[= (a - 6b)(a + 6b) + (a - 6b) =\]

\[= (a - 6b)(a + 6b + 1)\]

\[2)\ 25x^{2} - 10y + y^{2} - 9 =\]

\[= (5x - y)^{2} - 3^{2} =\]

\[= (5x - y - 3)(5x - y + 3)\]

\[3)\ ay^{7} + y^{7} - ay^{3} - y^{3} =\]

\[= y^{7}(a + 1) - y^{3}(a + 1) =\]

\[= (a + 1)\left( y^{7} - y^{3} \right) =\]

\[= y^{3}(a + 1)\left( y^{4} - 1 \right) =\]

\[= y^{3}(a + 1)\left( y^{2} - 1 \right)\left( y^{2} + 1 \right) =\]

\[= y^{3}(a + 1)(y - 1)(y + 1)\left( y^{2} + 1 \right)\]

\[4)\ 4 - m^{2} + 14mn - 49n^{2} =\]

\[= 4 - \left( m^{2} - 14mn + 49n^{2} \right) =\]

\[= 2^{2} - (m - 7n)^{2} =\]

\[= (2 - m + 7n)(2 + m - 7n)\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ 2x^{3} - 32x = 0\]

\[2x\left( x^{2} - 16 \right) = 0\]

\[2x(x - 4)(x + 4) = 0\]

\[2x = 0;\ \ \ \ x - 4 = 0;\ \ \ x + 4 = 0\]

\[x = 0\ \ \ \ \ \ \ \ x = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = - 4\]

\[Ответ:x = 0;\ \ x = \pm 4.\]

\[2)\ 81x^{3} + 18x^{2} + x = 0\]

\[x\left( 81x^{2} + 18x + 1 \right) = 0\]

\[x(9x + 1)^{2} = 0\]

\[x = 0;\ \ \ \ \ \ \ \ \ 9x + 1 = 0\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 9x = - 1\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = - \frac{1}{9}\]

\[Ответ:x = - \frac{1}{9};\ \ x = 0.\]

\[3)\ x^{3} + 6x^{2} - x - 6 = 0\]

\[x^{2}(x + 6) - (x + 6) = 0\]

\[(x + 6)\left( x^{2} - 1 \right) = 0\]

\[(x + 6)(x - 1)(x + 1) = 0\]

\[x = - 6;\ \ \ x = 1;\ \ \ x = - 1\]

\[Ответ:x = \pm 1;\ \ x = - 6.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[2^{9} + 10^{3}\ делится\ на\ 18.\]

\[2^{9} + 10^{3} = \left( 2^{3} \right)^{3} + 10^{3} =\]

\[= 8^{3} + 10^{3} =\]

\[= (8 + 10)(64 - 80 + 100) =\]

\[= 18 \cdot 84\]

\[Так\ как\ один\ из\ множителей\ \ \]

\[делится\ на\ 18\ без\ остатка,\ то\ и\ \ \ \]

\[все\ выражение\ делится\ нацело\ \]

\[на\ 18.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a - b = 10;\ \ ab = 7;\ \ (a + b)^{2} = ?\]

\[(a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4\text{ab} =\]

\[= 10^{2} + 4 \cdot 7 = 100 + 28 = 128.\]