Решебник по алгебре 7 класс Мерзляк контрольные работы КР-5. Сумма и разность двух выражений. Применение различных способов разложения многочлена на множители Вариант 2

Условие:

1. Разложите на множители:

1) 27x^3-y^3

2) 25a^3-ab^2

3)-3x^2-12x-12

4) 3ab-15a+12b-60

5) a^4-625

2. Упростите выражение x(x-1)(x-1)-(x-2)(x^2+2x+4).

3. Разложите на множители:

1) 7m-n+49m^2-n^2

2) 4x^2-4xy+y^2-16

3) xy^4-2y^4-xy+2y

4) 9-x^2-2xy-y^2

4. Решите уравнение:

1) 5x^3-5x=0

2) 64x^3-16x^2+x=0

3) x^3-3x^2-4x+12=0

5. Докажите, что значение выражения 4^6-7^3 делится нацело на 9.

6. Известно, что a+b=4; ab=-6. Найдите значение выражения (a-b)^2.

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ 27x^{3} - y^{3} =\]

\[= (3x - y)(9x^{2} + 3xy + y^{2})\]

\[2)\ 25a^{3} - ab^{2} = a\left( 25a^{2} - b^{2} \right) =\]

\[= a(5a - b)(5a + b)\]

\[3) - 3x^{2} - 12x - 12 =\]

\[= - 3 \cdot \left( x^{2} + 4x + 4 \right) =\]

\[= - 3 \cdot (x + 2)(x + 2)\]

\[4)\ 3ab - 15a + 12b - 60 =\]

\[= 3a(b - 5) + 12 \cdot (b - 5) =\]

\[= (b - 5)(3a + 12) =\]

\[= 3 \cdot (a + 4)(b - 5)\]

\[5)\ a^{4} - 625 =\]

\[= \left( a^{2} - 25 \right)\left( a^{2} + 25 \right) =\]

\[= (a - 5)(a + 5)\left( a^{2} + 25 \right)\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[x(x - 1)(x - 1) - (x - 2)\left( x^{2} + 2x + 4 \right) =\]

\[= x\left( x^{2} - 2x + 1 \right) - \left( x^{3} - 8 \right) =\]

\[= x^{3} - 2x^{2} + x - x^{3} + 8 =\]

\[= - 2x^{2} + x + 8.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ 7m - n + 49m^{2} - n^{2} =\]

\[= (7m - n) + (7m - n)(7m + n) =\]

\[= (7m - n)(1 + 7m + n)\]

\[2)\ 4x^{2} - 4xy + y^{2} - 16 =\]

\[= (2x - y)^{2} - 4^{2} =\]

\[= (2x - y - 4)(2x - y + 4)\]

\[3)\ xy^{4} - 2y^{4} - xy + 2y =\]

\[= y^{4}(x - 2) - y(x - 2) =\]

\[= (x - 2)\left( y^{4} - y \right) =\]

\[= y\left( y^{3} - 1 \right)(x - 2) =\]

\[= y(x - 2)(y - 1)(y^{2} + y + 1)\]

\[4)\ 9 - x^{2} - 2xy - y^{2} =\]

\[= 9 - \left( x^{2} + 2xy + y^{2} \right) =\]

\[= 3^{2} - (x + y)^{2} =\]

\[= (3 - x - y)(3 + x + y)\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ 5x^{3} - 5x = 0\]

\[5x\left( x^{2} - 1 \right) = 0\]

\[5x(x - 1)(x + 1) = 0\]

\[5x = 0;\ \ \ x - 1 = 0;\ \ \ x + 1 = 0\]

\[x = 0\ \ \ \ \ \ \ x = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = - 1\]

\[Ответ:x = 0;\ \ x = \pm 1.\]

\[2)\ 64x^{3} - 16x^{2} + x = 0\]

\[x\left( 64x^{2} - 16x + 1 \right) = 0\]

\[x(8x - 1)^{2} = 0\]

\[x = 0;\ \ \ \ \ \ \ 8x - 1 = 0\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8x = 1\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = \frac{1}{8}\]

\[Ответ:x = 0;\ \ x = \frac{1}{8}.\]

\[3)\ x^{3} - 3x^{2} - 4x + 12 = 0\]

\[x^{2}(x - 3) - 4 \cdot (x - 3) = 0\]

\[(x - 3)\left( x^{2} - 4 \right) = 0\]

\[(x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0\]

\[x = 3;\ \ \ \ x = 2;\ \ \ x = - 2\]

\[Ответ:x = \pm 2;\ \ x = 3.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[4^{6} - 7^{3}\ делится\ на\ 9.\]

\[4^{6} - 7^{3} = \left( 4^{2} \right)^{3} - 7^{3} = 16^{3} - 7^{3} =\]

\[= (16 - 7)\left( 16^{2} + 16 \cdot 7 + 7^{2} \right) =\]

\[= 9 \cdot \left( 16^{2} + 16 \cdot 7 + 7^{2} \right)\]

\[Так\ как\ один\ из\ множителей\ \ \]

\[делится\ на\ 9\ без\ остатка,\ то\ и\ \]

\[все\ выражение\ делится\ нацело\ \]

\[на\ 9.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a + b = 4;\ \ ab = - 6;\ \ (a - b)^{2} = ?\]

\[(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4\text{ab} =\]

\[= 4^{2} - 4 \cdot ( - 6) = 16 + 24 = 40.\]