Решебник по алгебре 7 класс Мерзляк контрольные работы КР-5. Сумма и разность двух выражений. Применение различных способов разложения многочлена на множители Вариант 1

Условие:

1. Разложите на множители:

1) a^3+8b^3

2) x^2 y-36y^3

3)-5m^2+10mn-5n^2

4) 4ab-28b+8a-56

5) a^4-81

2. Упростите выражение a(a+2)(a-2)-(a-3)(a^2+3a+9).

3. Разложите на множители:

1) x-3y+x^2-9y^2

2) 9m^2+6mn+n^2-25

3) ab^5-b^5-ab^3+b^3

4) 1-x^2+10xy-25y^2

4. Решите уравнение:

1) 3x^3-12x=0

2) 49x^3+14x^2+x=0

3) x^3-5x^2-x+5=0

5. Докажите, что значение выражения 3^6+5^3 делится нацело на 14.

6. Известно, что a-b=6; ab=5. Найдите значение выражения (a+b)^2.

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ a^{3} + 8b^{3} =\]

\[= (a + 2b)(a^{2} - 2ab + 4b^{2})\]

\[2)\ x^{2}y - 36y^{3} = y\left( x^{2} - 36y^{2} \right) =\]

\[= y(x - 6y)(x + 6y)\]

\[3) - 5m^{2} + 10mn - 5n^{2} =\]

\[= - 5 \cdot \left( m^{2} - 2mn + n^{2} \right) =\]

\[= - 5 \cdot (m - n)(m - n)\]

\[4)\ 4ab - 28b + 8a - 56 =\]

\[= 4b(a - 7) + 8(a - 7) =\]

\[= (a - 7)(4b + 8) =\]

\[= 4 \cdot (a - 7)(b + 2)\]

\[5)\ a^{4} - 81 = \left( a^{2} - 9 \right)\left( a^{2} + 9 \right) =\]

\[= (a - 3)(a + 3)(a^{2} + 9)\ \]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a(a + 2)(a - 2) - (a - 3)\left( a^{2} + 3a + 9 \right) =\]

\[= a\left( a^{2} - 4 \right) - \left( a^{3} - 27 \right) =\]

\[= a^{3} - 4a - a^{3} + 27 =\]

\[= - 4a + 27.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ \ x - 3y + x^{2} - 9y^{2} =\]

\[= (x - 3y) + (x - 3y)(x + 3y) =\]

\[= (x - 3y)(1 + x + 3y)\]

\[2)\ 9m^{2} + 6mn + n^{2} - 25 =\]

\[= (3m + n)^{2} - 5^{2} =\]

\[= (3m + n - 5)(3m + n + 5)\]

\[3)\ ab^{5} - b^{5} - ab^{3} + b^{3} =\]

\[= b^{5}(a - 1) - b^{3}(a - 1) =\]

\[= (a - 1)\left( b^{5} - b^{3} \right) =\]

\[= b^{3}\left( b^{2} - 1 \right)(a - 1) =\]

\[= b^{3}(b - 1)(b + 1)(a - 1)\]

\[4)\ 1 - x^{2} + 10xy - 25y^{2} =\]

\[= 1 - \left( x^{2} - 10xy + 25y^{2} \right) =\]

\[= 1^{2} - (x - 5y)^{2} =\]

\[= (1 - x + 5y)(1 + x - 5y)\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[1)\ 3x^{3} - 12x = 0\]

\[3x\left( x^{2} - 4 \right) = 0\]

\[3x(x - 2)(x + 2) = 0\]

\[3x = 0;\ \ \ \ x - 2 = 0;\ \ \ x + 2 = 0\]

\[x = 0\ \ \ \ \ \ \ \ x = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = - 2\]

\[Ответ:x = 0;\ \ x = \pm 2.\]

\[2)\ 49x^{3} + 14x^{2} + x = 0\]

\[x\left( 49x^{2} + 14x + 1 \right) = 0\]

\[x(7x + 1)^{2} = 0\]

\[x = 0;\ \ \ \ \ 7x + 1 = 0\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7x = - 1\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = - \frac{1}{7}\]

\[Ответ:x = - \frac{1}{7};\ \ x = 0.\]

\[3)\ x^{3} - 5x^{2} - x + 5 = 0\]

\[x^{2}(x - 5) - (x - 5) = 0\]

\[(x - 5)\left( x^{2} - 1 \right) = 0\]

\[(x - 5)(x - 1)(x + 1) = 0\]

\[x - 5 = 0;\ \ \ x - 1 = 0;\ \ \ x + 1 = 0\]

\[x = 5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = - 1\]

\[Ответ:x = \pm 1;\ \ x = 5.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[3^{6} + 5^{3}\ делится\ на\ 14.\]

\[3^{6} + 5^{3} = \left( 3^{2} \right)^{3} + 5^{3} =\]

\[= 9^{3} + 5^{3} =\]

\[= (9 + 5)(81 - 45 + 25) =\]

\[= 14 \cdot 61\]

\[Так\ как\ один\ из\ множителей\ \ \]

\[делится\ нацело\ на\ 14,\ то\ и\ все\ \]

\[выражение\ делится\ на\ 14.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a - b = 6;\ \ ab = 5;\ \ (a + b)^{2} = ?\]

\[(a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4\text{ab} =\]

\[= 6^{2} + 4 \cdot 5 = 36 + 20 = 56.\]