Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 8. Уравнения-следствия Задание 5

\[\boxed{\mathbf{5.}}\]

\[\textbf{а)}\ \sqrt{f(x)}\sqrt{g(x)} = \sqrt{f(x)g(x)};\]

\[\sqrt{f(x)}\sqrt{g(x)} = \left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ ;\]

\[\sqrt{f(x)g(x)} = \left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ или\ \ \]

\[\ \left\{ \begin{matrix} f(x) \leq 0 \\ g(x) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ .\]

\[Такое\ преобразование\ является\ \]

\[переходом\ к\ уравнению -\]

\[следствию\ и\ может\ привести\ к\ \]

\[появлению\ посторонних\ \]

\[корней,\]

\[так\ как\ расширяет\ область\]

\[\ значений\ функций.\]

\[\textbf{б)}\ \frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}} = \sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}};\]

\[\frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}} = \left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0 \\ g(x) > 0 \\ \end{matrix} \right.\ ;\]

\[\sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}} = \left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0 \\ g(x) > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ или\ \ \ \]

\[\left\{ \begin{matrix} f(x) \leq 0 \\ g(x) < 0 \\ \end{matrix} \right.\ .\]

\[Такое\ преобразование\ является\]

\[\ переходом\ к\ уравнению -\]

\[следствию\ и\ может\ привести\ к\]

\[\ появлению\ посторонних\ \]

\[корней,\]

\[так\ как\ расширяет\ область\]

\[\ значений\ функций.\]

\[\textbf{в)}\ a^{\log_{a}{f(x)}} = f(x);\]

\[a^{\log_{a}{f(x)}}\ определена\ при\ \]

\[f(x) > 0;\]

\[f(x)\ определена\ при\ любых\ x.\]

\[Такое\ преобразование\ является\]

\[\ переходом\ к\ уравнению -\]

\[следствию\ и\ может\ привести\ \]

\[к\ появлению\ посторонних\ \]

\[корней,\]

\[так\ как\ расширяет\ область\ \]

\[значений\ функций.\]

\[\textbf{г)}\ 2\log_{a}{f(x)} = \log_{a}{f^{2}(x)};\]

\[2\log_{a}{f(x)}\ определена\ при\]

\[\ f(x) > 0;\]

\[\log_{a}{f^{2}(x)}\ определена\ при\]

\[\ f(x) \neq 0.\]

\[Такое\ преобразование\ является\]

\[\ переходом\ к\ уравнению -\]

\[следствию\ и\ может\ привести\ к\ \]

\[появлению\ посторонних\ \]

\[корней,\]

\[так\ как\ расширяет\ область\ \]

\[значений\ функций.\]

\[\textbf{д)}\log_{a}{f(x)} + \log_{a}{g(x)} =\]

\[= \log_{a}\left( f(x)g(x) \right);\]

\[\log_{a}{f(x)} + \log_{a}{g(x)} =\]

\[= \left\{ \begin{matrix} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ \end{matrix} \right.\ ;\]

\[\log_{a}\left( f(x)g(x) \right) = \left\{ \begin{matrix} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ }\]

\[\ или\ \ \ \left\{ \begin{matrix} f(x) < 0 \\ g(x) < 0 \\ \end{matrix} \right.\ .\]

\[Такое\ преобразование\ является\]

\[\ переходом\ к\ уравнению -\]

\[следствию\ и\ может\ привести\ к\ \]

\[появлению\ посторонних\]

\[\ корней,\]

\[так\ как\ расширяет\ область\ \]

\[значений\ функций.\]

\[\textbf{е)}\ \log_{a}{f(x)} + \log_{a}{g(x)} =\]

\[= \log_{a}\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right);\]

\[\log_{a}{f(x)} + \log_{a}{g(x)} =\]

\[= \left\{ \begin{matrix} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ \end{matrix} \right.\ ;\]

\[\log_{a}\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \left\{ \begin{matrix} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ или\ \ \]

\[\ \left\{ \begin{matrix} f(x) < 0 \\ g(x) < 0 \\ \end{matrix} \right.\ .\]

\[Такое\ преобразование\ является\ \]

\[переходом\ к\ уравнению -\]

\[следствию\ и\ может\ привести\]

\[\ к\ появлению\ посторонних\ \]

\[корней,\]

\[так\ как\ расширяет\ область\ \]

\[значений\ функций.\]

\[\textbf{ж)}\ \frac{1}{\log_{f(x)}a} = \log_{a}{f(x)};\]

\[\frac{1}{\log_{f(x)}a}\ определена\ при\]

\[\ f(x) > 0;f(x) \neq 1;\]

\[\log_{a}{f(x)}\ определена\ при\ \]

\[f(x) > 0.\]

\[Такое\ преобразование\ является\ \]

\[переходом\ к\ уравнению -\]

\[следствию\ и\ может\ привести\ к\ \]

\[появлению\ посторонних\]

\[\ корней,\]

\[так\ как\ расширяет\ область\]

\[\ значений\ функций.\]

\[\textbf{з)}\ \frac{1}{\text{tgx}} = ctgx;\]

\[\frac{1}{\text{tgx}}\ не\ определена\ при\ \]

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k;\]

\[\text{ctgx} - значения\ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\ \]

\[входят\ в\ область\ определения.\]

\[Такое\ преобразование\ \]

\[является\ переходом\ к\ \]

\[уравнению -\]

\[следствию\ и\ может\ привести\ \]

\[к\ появлению\ посторонних\ \]

\[корней,\]

\[так\ как\ расширяет\ область\]

\[\ значений\ функций.\]

\[\textbf{и)}\ \frac{1}{\text{ctgx}} = tgx;\]

\[\frac{1}{\text{ctgx}}\ не\ определена\ при\ x = \pi k;\]

\[tgx - значения\ x = \pi k\ входят\]

\[\ в\ область\ определения.\]

\[Такое\ преобразование\ является\]

\[\ переходом\ к\ уравнению -\]

\[следствию\ и\ может\ привести\]

\[\ к\ появлению\ посторонних\]

\[\ корней,\]

\[так\ как\ расширяет\ область\]

\[\ значений\ функций.\]

\[к)\ \frac{2tgx}{1 + tg^{2}x} = \sin{2x}\]

\[\frac{2tgx}{1 + tg^{2}x}\ не\ определена\ при\]

\[\ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k;\]

\[\sin{2x} - значения\ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\ \]

\[входят\ в\ область\ определения.\]

\[Такое\ преобразование\ является\]

\[\ переходом\ к\ уравнению -\]

\[следствию\ и\ может\ привести\ к\ \]

\[появлению\ посторонних\ корней,\]

\[так\ как\ расширяет\ область\]

\[\ значений\ функций.\ \]

\[л)\ \frac{1 - tg^{2}x}{1 + tg^{2}x} = \cos{2x};\]

\[\frac{1 - tg^{2}x}{1 + tg^{2}x}\ не\ определена\ при\ \]

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k;\]

\[\cos{2x} - значения\ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\ \]

\[входят\ в\ область\ определения.\]

\[Такое\ преобразование\ \]

\[является\ переходом\ к\ \]

\[уравнению -\]

\[следствию\ и\ может\ привести\ к\ \]

\[появлению\ посторонних\ корней,\]

\[так\ как\ расширяет\ область\]

\[\ значений\ функций.\]

\[м)\ \frac{2tgx}{1 - tg^{2}x} = tg\ 2x;\]

\[\frac{2tgx}{1 - tg^{2}x}\ не\ определена\ при\ \]

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k;\]

\[tg\ 2x - значения\ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\ \]

\[входят\ в\ область\ определения.\]

\[Такое\ преобразование\ является\]

\[\ переходом\ к\ уравнению -\]

\[следствию\ и\ может\ привести\ к\ \]

\[появлению\ посторонних\ корней,\]

\[так\ как\ расширяет\ область\]

\(\ значений\ функций.\)