Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 8. Уравнения-следствия Задание 3

\[\boxed{\mathbf{3.}}\]

\[\textbf{а)}\ \sqrt{x - 2}\sqrt{x - 3} = 0;\]

\[\sqrt{(x - 2)(x - 3)} = 0;\]

\[\sqrt{(x - 2)(x - 3)} = 0\ является\ \]

\[следствием\ уравнения\ \]

\[\sqrt{x - 2}\sqrt{x - 3} = 0;\]

\[так\ как\ получилось\ в\ следствие\]

\[\ преобразования\ \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{\text{ab}}.\]

\[Например,\ x = 2:\]

\[является\ корнем\ уравнения\]

\[\ \sqrt{(x - 2)(x - 3)} = 0,\ но\ для\ \]

\[первого\]

\[уравнения\ является\ \]

\[посторонним\ корнем.\]

\[\textbf{б)}\frac{\sqrt{2x^{2} - 9x + 3}}{\sqrt{x - 2}} = \sqrt{x + 3};\]

\[\sqrt{\frac{2x^{2} - 9x + 3}{x - 2}} = \sqrt{x + 3};\]

\[\sqrt{\frac{2x^{2} - 9x + 3}{x - 2}} = \sqrt{x + 3}\ является\]

\[\ следствием\ уравнения\ \]

\[\frac{\sqrt{2x^{2} - 9x + 3}}{\sqrt{x - 2}} = \sqrt{x + 3};\]

\[так\ как\ получилось\ в\ следствие\]

\[\ преобразования\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}.\]

\[Например,\ x = 1:\]

\[является\ корнем\ уравнения\ \]

\[\sqrt{\frac{2x^{2} - 9x + 3}{x - 2}} = \sqrt{x + 3},\ но\ для\ \]

\[первого\]

\[уравнения\ является\ \]

\[посторонним\ корнем.\]

\[\textbf{в)}\ 2\log_{4}x = 1;\]

\[\log_{4}x^{2} = 1;\]

\[\log_{4}x^{2} = 1\ является\ следствием\]

\[\ уравнения\ \ 2\log_{4}x = 1;\]

\[так\ как\ получилось\ в\ следствие\]

\[\ преобразования\ n\log_{a}x =\]

\[= \log_{a}x^{n}.\]

\[Например,\ x = - 2:\]

\[является\ корнем\ уравнения\ \]

\[\log_{4}x^{2} = 1,\ но\ для\ первого\]

\[уравнения\ является\ \]

\[посторонним\ корнем.\]

\[\textbf{г)}\ 3^{\log_{3}x} = x^{2};\]

\[x = x^{2};\]

\[x = x^{2}\ является\ следствием\ \]

\[уравнения\ 3^{\log_{3}x} = x^{2};\]

\[так\ как\ получилось\ в\ следствие\]

\[\ преобразования\ a^{\log_{a}b} = b.\]

\[Например,\ x = 0:\]

\[является\ корнем\ уравнения\ \]

\[x = x^{2},\ но\ для\ первого\]

\[уравнения\ является\]

\[\ посторонним\ корнем.\]

\[\textbf{д)}\log_{2}x + \log_{2}(x + 2) = 3;\]

\[\log_{2}\left( x(x + 2) \right) = 3;\]

\[\log_{2}\left( x(x + 2) \right) = 3\ является\]

\[\ следствием\ уравнения\ \]

\[\log_{2}x + \log_{2}(x + 2) = 3;\]

\[так\ как\ получилось\ в\ следствие\]

\[\ преобразования\ \]

\[\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}{(bc)}.\]

\[Например,\ x = - 4:\]

\[является\ корнем\ уравнения\ \]

\[\log_{2}\left( x(x + 2) \right) = 3,\ но\ для\]

\[\ первого\]

\[уравнения\ является\ \]

\[посторонним\ корнем.\]

\[\textbf{е)}\ \log_{2}x - \log_{2}(x + 2) =\]

\[= \log_{2}(2x + 10);\]

\[\ \log_{2}\left( \frac{x}{x + 2} \right) = \log_{2}(2x + 10);\]

\[\log_{2}\left( \frac{x}{x + 2} \right) = \log_{2}(2x + 10)\]

\[\ является\ следствием\]

\[\ уравнения\ \]

\[\log_{2}x - \log_{2}(x + 2) =\]

\[= \log_{2}(2x + 10);\]

\[так\ как\ получилось\ в\]

\[\ следствие\ преобразования\ \]

\[\log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}\left( \frac{b}{c} \right).\]

\[Например,\ x = - 4:\]

\[является\ корнем\ уравнения\ \]

\[\log_{2}\left( \frac{x}{x + 2} \right) = \log_{2}(2x + 10),\]

\[\ но\ для\ \]

\[первого\ уравнения\ является\ \]

\[посторонним\ корнем.\]