Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 6. Первообразная и интеграл Задание 87
Задание 87
\[\boxed{\mathbf{87}.}\]
\[\textbf{а)}\ y^{''} + 4y = 0;\ \ y(0) = 2;\]
\[y^{'}(0) = 3;\]
\[y^{''} + 4y = y^{''} + 2^{2}y = 0;\ \ k = 2;\]
\[общее\ решение\ имеет\ вид:\]
\[y = A\sin{2t} + B\cos{2t};\]
\[A,\ B - некоторые\ постоянные.\]
\[Подставим\ y^{'}(0) = 3:\]
\[y^{'} = \left( A\sin{2t} + B\cos{2t} \right)^{'} =\]
\[= 2A\cos{2\ t} - 2B\sin{2t};\]
\[y^{'}(0) = 2A\cos 0 - 2B\sin 0 = 3\]
\[2A \cdot 1 - 2B \cdot 0 = 3\]
\[2A = 3\]
\[A = 1,5.\]
\[Решение\ дифференциального\ \]
\[уравнения\ при\ A = 1,5:\]
\[y = 1,5\sin{2t} + B\cos 2t;\]
\[y(0) = 1,5\sin 0 + B\cos 0 = 2\]
\[1,5 \cdot 0 + B \cdot 1 = 2\]
\[B = 2.\]
\[Частное\ решение\ при\ B = 2:\]
\[y = 1,5\sin{2t} + 2\cos{2t}.\]
\[\textbf{б)}\ y^{''} + 4y = 0;\ \ y(0) = 2;\]
\[y^{'}(0) = 0;\]
\[y^{''} + 4y = y^{''} + 2^{2}y = 0;\ \ k = 2;\]
\[общее\ решение\ имеет\ вид:\]
\[y = A\sin{2t} + B\cos{2t};\]
\[A,\ B - некоторые\ постоянные.\]
\[Подставим\ y^{'}(0) = 0:\]
\[y^{'} = \left( A\sin{2t} + B\cos{2t} \right)^{'} =\]
\[= 2A\cos{2\ t} - 2B\sin{2t};\]
\[y^{'}(0) = 2A\cos 0 - 2B\sin 0 = 0\]
\[2A \cdot 1 - 2B \cdot 0 = 0\]
\[2A = 0\]
\[A = 0.\]
\[Решение\ дифференциального\ \]
\[уравнения\ при\ A = 0:\]
\[y = B\cos 2t;\]
\[y(0) = B\cos 0 = 2\]
\[B \cdot 1 = 2\]
\[B = 2.\]
\[Частное\ решение\ при\ B = 2:\]
\[y = 2\cos{2t}.\]
\[\textbf{в)}\ y^{''} + 4y = 0;\ \ y(0) = 0;\]
\[y^{'}(0) = 3;\]
\[y^{''} + 4y = y^{''} + 2^{2}y = 0;\ \ k = 2;\]
\[общее\ решение\ имеет\ вид:\]
\[y = A\sin{2t} + B\cos{2t};\]
\[A,\ B - некоторые\ постоянные.\]
\[Подставим\ y^{'}(0) = 3:\]
\[y^{'} = \left( A\sin{2t} + B\cos{2t} \right)^{'} =\]
\[= 2A\cos{2\ t} - 2B\sin{2t};\]
\[y^{'}(0) = 2A\cos 0 - 2B\sin 0 = 3\]
\[2A \cdot 1 - 2B \cdot 0 = 3\]
\[2A = 3\]
\[A = 1,5.\]
\[Решение\ дифференциального\ \]
\[уравнения\ при\ A = 1,5:\]
\[y = 1,5\sin{2t} + B\cos 2t;\]
\[y(0) = 1,5\sin 0 + B\cos 0 = 0\]
\[1,5 \cdot 0 + B \cdot 1 = 0\]
\[B = 0.\]
\[Частное\ решение\ при\ B = 0:\]
\[y = 1,5\sin{2t}.\]
