Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 6. Первообразная и интеграл Задание 30

\[\boxed{\mathbf{30}.}\]

\[\ y = x^{2};\ \ \lbrack 0;1\rbrack;\]

\[S_{n} = \frac{1^{2} + 2^{2} + \ldots + (n - 1)^{2}}{n^{3}}\]

\[\textbf{а)}\ 1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} =\]

\[= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\]

\[S_{n} = \frac{(n - 1)(2n - 1)}{6n^{2}}.\]

\[\textbf{б)}\ S_{n} = \frac{(n - 1)(2n - 1)}{6n^{2}};\]

\[\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n^{2} - 3n + 1}{6n^{2}} =\]

\[= \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n^{2}}{6n^{2}} - \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3n}{6n^{2}} + \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{6n^{2}} =\]

\[= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\]

\[Да,\ существует.\]

\[\textbf{в)}\ y = 0;\ \ x = 1.\]

\[\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = \frac{1}{3}.\]

\[Площадь\ фигуры\ и\ есть\ \]

\[предел\ интегральной\ суммы:\]

\[S_{фигуры} = \frac{1}{3}.\]