Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 6. Первообразная и интеграл Задание 29

\[\boxed{\mathbf{29}.}\]

\[\textbf{а)}\ y = x + 1;\ \ \lbrack 0;1\rbrack\]

\[S = \left( \underset{\text{n\ }слагаемых}{\overset{0 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \ldots + \frac{n - 1}{n}}{︸}} \right) \cdot \frac{1}{n};\]

\[S_{1} = 0 \cdot \frac{1}{1} + 1 = 1;\]

\[S_{2} = \left( 0 + \frac{1}{2} \right) \cdot \frac{1}{2} + 1 = 1,25;\]

\[S_{3} = \left( 0 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \right) \cdot \frac{1}{3} + 1 = 1\frac{1}{3};\]

\[S_{4} = \left( 0 + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4} \right) \cdot \frac{1}{4} + 1 =\]

\[= 1\frac{3}{8}.\]

\[= \frac{\frac{n - 1}{n}}{2} + 1 = \frac{n - 1}{2n} + 1 =\]

\[= \frac{3n - 1}{2n};\]

\[\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3n - 1}{2n} = \frac{3}{2} = 1,5.\]

\[Да,\ существует.\]

\[\textbf{в)}\ S_{n} = \frac{3n - 1}{2n};\]

\[\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3n - 1}{2n} = \frac{3}{2} = 1,5;\]

\[Площадь\ фигуры\ и\ есть\ предел\ \]

\[интегральной\ суммы:\]

\[S_{фигуры} = 1,5.\]