Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 99

\[\boxed{\mathbf{99}\mathbf{.}}\]

\[\textbf{а)}\ Пусть\ x\ (x > 0) - сторона\ \]

\[квадрата\ в\ основании;\]

\[V = 32.\]

\[V = h \cdot S_{осн} = h \cdot x^{2}\]

\[h = \frac{V}{x^{2}} = \frac{32}{x^{2}} - высота.\]

\[S_{пов} = x^{2} + 4x \cdot \frac{4}{x^{2}} = x^{2} + \frac{16}{x};\]

\[S_{пов}^{'} = 2x - \frac{16}{x^{2}} = \frac{2x^{3} - 16}{x^{2}};\]

\[\frac{2x^{3} - 16}{x^{2}} = 0\]

\[2x^{3} - 16 = 0\]

\[x^{3} = 8\]

\[x = 2 - ширина\ бака.\]

\[h = \frac{4}{x^{2}} = \frac{4}{4} = 1 - высота\ бака.\]

\[Ответ:2\ и\ 1.\]

\[\textbf{б)}\ Пусть\ x\ (x > 0) - сторона\]

\[\ квадрата\ в\ основании;\]

\[V = 32.\]

\[V = h \cdot S_{осн} = h \cdot x^{2}\]

\[h = \frac{V}{x^{2}} = \frac{32}{x^{2}} - высота.\]

\[S_{пов} = x^{2} + 4x \cdot \frac{32}{x^{2}} = x^{2} + \frac{128}{x};\]

\[S_{пов}^{'} = 2x - \frac{128}{x^{2}} = \frac{2x^{3} - 128}{x^{2}};\]

\[\frac{2x^{3} - 128}{x^{2}} = 0\]

\[2x^{3} - 128 = 0\]

\[x^{3} = 64\]

\[x = 4 - ширина\ бака.\]

\[h = \frac{32}{x^{2}} = \frac{32}{16} = 2 - высота\ бака.\]

\[Ответ:4\ и\ 2.\]