Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 98

\[\boxed{\mathbf{98}\mathbf{.}}\]

\[Рисунок\ в\ учебнике:130.\]

\[KB = 9\ км;\]

\[BL = 15\ км;\]

\[v_{1} = 5\ \frac{км}{ч} - скорость\ на\ \]

\[отрезке\ PL;\]

\[v_{2} = 4\ \frac{км}{ч} - скорость\ на\ \]

\[отрезке\ \text{KP.}\]

\[Пусть\ \text{x\ }км - расстояние\ от\]

\[\ \text{B\ }до\ P;\]

\[(15 - x)\ км - расстояние\ от\]

\[\ \text{P\ }до\ \text{L.}\]

\[По\ теореме\ Пифагора:\]

\[KP^{2} = KB^{2} + BP^{2}\]

\[KP^{2} = 9^{2} + x^{2};\]

\[KP = \sqrt{81 + x^{2}}.\]

\[t_{\text{KP}} = \frac{\text{KP}}{4} = \frac{\sqrt{81 + x^{2}}}{4};\]

\[t_{\text{PL}} = \frac{\text{PL}}{5} = \frac{15 - x}{5};\]

\[t = t_{\text{KP}} + t_{\text{PL}} =\]

\[= \frac{\sqrt{81 + x^{2}}}{4} + \frac{15 - x}{5};\]

\[t^{'} = \frac{x}{4\sqrt{81 + x^{2}}} - \frac{1}{5};\]

\[\frac{x}{4\sqrt{81 + x^{2}}} - \frac{1}{5} = 0\]

\[\frac{x}{4\sqrt{81 + x^{2}}} = \frac{1}{5}\]

\[4\sqrt{81 + x^{2}} = 5x\]

\[16\left( 81 + x^{2} \right) = 25x^{2}\]

\[9x^{2} = 16 \cdot 81\]

\[x^{2} = 144\]

\[x = \pm 12.\]

\[x = 12 - точка\ минимума,\ в\ \]

\[которой\ функция\ принимает\]

\[наименьшее\ значение.\]

\[Ответ:BP = 12\ км.\]